Теория электрической связи. Васильев К.К - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

205
Минимальные многочлены
Рассмотренное распределение элементов конечного поля по циклотоми-
ческим классам позволяет лучше понять следующее важное в теории кодирова-
ния понятие. Минимальным многочленом или минимальной функцией элемента
β
поля
(
)
m
pGF называется многочлен
(
)
xM с коэффициентами из
(
)
m
pGF наи-
меньшей степени, для которого
β
является корнем, т.е.
()
0=
β
M . Обсудим
его основные свойства.
Прежде всего, очевидно, что минимальный многочлен должен быть не-
приводимым, иначе он раскладывался бы на полиномы меньшей степени.
Любой другой полином, имеющий тот же корень
β
, что и минимальный,
делится на
()
xM . На
()
xM делится и полином 1−
m
p
x , т.к. корнями последнего
в соответствии с (5.10) будут все ненулевые элементы поля
(
)
m
pGF . Степень
минимального многочлена определяется количеством компонентов циклотоми-
ческого класса, которому соответствует его корень (табл. 5.3). Действительно,
минимальный многочлен, показатели корней которого принадлежат циклото-
мическому классу
s
K , может быть записан в виде
()
() ( )( )
(
)
(
)
∏
∏
∈
−=−=−−=
s
Kj
j
i
i
s
xxxxxM
αβββ
...
21
.
(5.11)
Для 5=s (см. 5.3.5):
()
()
(
)
(
)
(
)
(
)
1
234912635
++++=++++= xxxxxxxxxM
αααα
.
Аналогично для
3=s
:
()
()
(
)
(
)
(
)
(
)
1
234912633
++++=++++= xxxxxxxxxM
αααα
.
С учетом (5.10) справедливо равенство
()
(
)
∏
=−
−
s
sp
xMx
m
1
1
,
где s пробегает все множество классов по модулю 1−
m
p , т.е. многочлен
1
1
−
−
m
p
x раскладывается на произведение минимальных многочленов элемен-
тов, показатели которых принадлежат каждому из циклотомических классов
по модулю 1−
m
p .
Минимальные многочлены элементов
β
и
p
β
равны. В частности, в поле

Страницы