Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I. Васильев А.Н - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Çäåñü ïåðâûé ÷ëåí îïèñûâàåò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ÿäåð,
âòîðîé — ýëåêòðîíîâ. Òðåòèé, ÷åòâåðòûé è ïÿòûé ÷ëåíû îïè
-
ñûâàþò êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå ñîîòâåòñòâåííî ìåæäó
ÿäðàìè è ÿäðàìè, ìåæäó ýëåêòðîíàìè è ÿäðàìè è ìåæäó ýëåê
-
òðîíàìè è ýëåêòðîíàìè.  ïîñëåäíèé ÷ëåí, ñèìâîëè÷åñêè çà
-
ïèñàííûé êàê
$
H
s
, âêëþ÷åíû âñå ñïèíîâûå ýôôåêòû.  îñíîâ
-
íîì â ýòîò ÷ëåí âíîñèò âêëàä ñïèí-îðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñò
-
âèå äëÿ ýëåêòðîíîâ.
Ýòîò ãàìèëüòîíèàí îïèñûâàåò ïðàêòè÷åñêè âñå ýôôåêòû
â òâåðäîì òåëå. Îäíàêî â òàêîé çàïèñè ïîëüçîâàòüñÿ èì áåññ
-
ìûñëåííî — íàéòè ñîáñòâåííûå ôóíêöèè
$
H
0
íå ïðåäñòàâëÿ
-
åòñÿ âîçìîæíûì. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ïåðâîãî øàãà ïîïûòàåì
-
ñÿ ìàêñèìàëüíî óïðîñòèòü âûðàæåíèå (4.1). Âîñïîëüçóåìñÿ
òåì, ÷òî ìàññà ÿäåð
M
áîëåå ÷åì íà òðè ïîðÿäêà îòëè÷àåòñÿ îò
ìàññû ýëåêòðîíîâ
m
.  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ñ÷èòàòü
ÿäðà íåïîäâèæíûìè (ýòèì ïðèáëèæåíèåì ìû áóäåì ïîëüçî-
âàòüñÿ äî êîíöà äàííîé ãëàâû). Ýòî ïîçâîëÿåò îïóñòèòü ïåð-
âûé è òðåòèé ÷ëåíû: ïåðâûé ÷ëåí ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ êèíåòè-
÷åñêîé ýíåðãèåé ýëåêòðîíîâ, à òðåòèé ïðèâîäèò ëèøü ê ïîñòî-
ÿííîìó ñäâèãó íà÷àëà îòñ÷åòà ýíåðãèè.  òàêîì ñëó÷àå
$
H
0
çà-
âèñèò ëèøü îò ýëåêòðîííûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ:
$
$
()
$
.HH
0
2
2
2
=+ +
-
+
åå å
<
p
r
rr
i
e
i
i
i
ij
ij
s
m
U
e
(4.2)
 èäåàëüíîì êðèñòàëëå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà
â ïîëå ÿäåð
U
i
()r
ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé
r
ñ ïåðèî
-
äàìè, îïðåäåëÿåìûìè ðåøåòêîé Áðàâå êðèñòàëëà. Îäíàêî è
ïîñëå òàêîãî óïðîùåíèÿ ðåøèòü çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå ôóíê
-
öèè íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Ïðàêòè÷åñêè âñåãäà ýòó
çàäà÷ó ðåøàþò â òàê íàçûâàåìîì «îäíîýëåêòðîííîì» ïðèáëè
-
æåíèè, êîãäà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ àïïðîêñèìèðóåòñÿ äåòåðìè
-
íàíòîì Ñëåòåðà, ïîñòðîåííûì èç ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòî
-
ðûõ çàâèñèò îò êîîðäèíàò òîëüêî îäíîãî ýëåêòðîíà. ×èñëî òà
-
êèõ ôóíêöèé è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîðÿäîê äåòåðìèíàíòà ñîâïà
-
äàþò ñ ÷èñëîì ýëåêòðîíîâ â òâåðäîì òåëå. Ñîîòâåòñòâóþùåå
ïðèáëèæåíèå â òåîðèè ìíîãîýëåêòðîííûõ ñèñòåì íàçûâàåòñÿ
ïðèáëèæåíèåì Õàðòðè—Ôîêà. Ïðè ýòîì ìíîãîýëåêòðîííàÿ
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îäíîýëåêòðîííîé, íî ñ ÷àñòè÷íûì ó÷åòîì
ýëåêòðîí-ýëåêòðîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.
Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ãàìèëüòîíèàíà èäåàëüíîãî
63
Çäåñü ïåðâûé ÷ëåí îïèñûâàåò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ÿäåð,
âòîðîé — ýëåêòðîíîâ. Òðåòèé, ÷åòâåðòûé è ïÿòûé ÷ëåíû îïè-
ñûâàþò êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå ñîîòâåòñòâåííî ìåæäó
ÿäðàìè è ÿäðàìè, ìåæäó ýëåêòðîíàìè è ÿäðàìè è ìåæäó ýëåê-
òðîíàìè è ýëåêòðîíàìè.  ïîñëåäíèé ÷ëåí, ñèìâîëè÷åñêè çà-
ïèñàííûé êàê H$ s , âêëþ÷åíû âñå ñïèíîâûå ýôôåêòû.  îñíîâ-
íîì â ýòîò ÷ëåí âíîñèò âêëàä ñïèí-îðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñò-
âèå äëÿ ýëåêòðîíîâ.
    Ýòîò ãàìèëüòîíèàí îïèñûâàåò ïðàêòè÷åñêè âñå ýôôåêòû
â òâåðäîì òåëå. Îäíàêî â òàêîé çàïèñè ïîëüçîâàòüñÿ èì áåññ-
ìûñëåííî — íàéòè ñîáñòâåííûå ôóíêöèè H$ 0 íå ïðåäñòàâëÿ-
åòñÿ âîçìîæíûì. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ïåðâîãî øàãà ïîïûòàåì-
ñÿ ìàêñèìàëüíî óïðîñòèòü âûðàæåíèå (4.1). Âîñïîëüçóåìñÿ
òåì, ÷òî ìàññà ÿäåð M áîëåå ÷åì íà òðè ïîðÿäêà îòëè÷àåòñÿ îò
ìàññû ýëåêòðîíîâ m.  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ñ÷èòàòü
ÿäðà íåïîäâèæíûìè (ýòèì ïðèáëèæåíèåì ìû áóäåì ïîëüçî-
âàòüñÿ äî êîíöà äàííîé ãëàâû). Ýòî ïîçâîëÿåò îïóñòèòü ïåð-
âûé è òðåòèé ÷ëåíû: ïåðâûé ÷ëåí ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ êèíåòè-
÷åñêîé ýíåðãèåé ýëåêòðîíîâ, à òðåòèé ïðèâîäèò ëèøü ê ïîñòî-
ÿííîìó ñäâèãó íà÷àëà îòñ÷åòà ýíåðãèè.  òàêîì ñëó÷àå H$ 0 çà-
âèñèò ëèøü îò ýëåêòðîííûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ:
              p$ 2                 e2
    H$ 0 = å i + å U(ri ) + å             + H$ s .     (4.2)
           i 2 m  e i            r
                            i< j i -  r j

    Â èäåàëüíîì êðèñòàëëå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà
â ïîëå ÿäåðU(ri ) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé r ñ ïåðèî-
äàìè, îïðåäåëÿåìûìè ðåøåòêîé Áðàâå êðèñòàëëà. Îäíàêî è
ïîñëå òàêîãî óïðîùåíèÿ ðåøèòü çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå ôóíê-
öèè íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Ïðàêòè÷åñêè âñåãäà ýòó
çàäà÷ó ðåøàþò â òàê íàçûâàåìîì «îäíîýëåêòðîííîì» ïðèáëè-
æåíèè, êîãäà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ àïïðîêñèìèðóåòñÿ äåòåðìè-
íàíòîì Ñëåòåðà, ïîñòðîåííûì èç ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòî-
ðûõ çàâèñèò îò êîîðäèíàò òîëüêî îäíîãî ýëåêòðîíà. ×èñëî òà-
êèõ ôóíêöèé è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîðÿäîê äåòåðìèíàíòà ñîâïà-
äàþò ñ ÷èñëîì ýëåêòðîíîâ â òâåðäîì òåëå. Ñîîòâåòñòâóþùåå
ïðèáëèæåíèå â òåîðèè ìíîãîýëåêòðîííûõ ñèñòåì íàçûâàåòñÿ
ïðèáëèæåíèåì Õàðòðè—Ôîêà. Ïðè ýòîì ìíîãîýëåêòðîííàÿ
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îäíîýëåêòðîííîé, íî ñ ÷àñòè÷íûì ó÷åòîì
ýëåêòðîí-ýëåêòðîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.
    Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ãàìèëüòîíèàíà èäåàëüíîãî
                               63

Страницы