Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I. Васильев А.Н - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ñîäåðæàò êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ. Òàê, îäíà èç ñàìûõ «áî
-
ãàòûõ» ãðóïï òî÷å÷íîé ñèììåòðèè — ãðóïïà
O
h
(ãðóïïà ñèì
-
ìåòðèè êóáà) — ñîäåðæèò 48 ýëåìåíòîâ. Ïîëíàÿ ãðóïïà êðèñ
-
òàëëà, òàê íàçûâàåìàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ãðóïïà, ñîäåðæèò
íàáîð ñîâîêóïíîñòåé ýëåìåíòîâ òðàíñëÿöèé è ýëåìåíòîâ òî
-
÷å÷íîé ñèììåòðèè. Íåêîòîðûå ãðóïïû (íàçûâàåìûå íåñèì
-
ìîðôíûìè â îòëè÷èå îò îñòàëüíûõ, èìåíóåìûõ ñèììîðôíû
-
ìè) ñîäåðæàò òàê íàçûâàåìûå íåýëåìåíòàðíûå òðàíñëÿöèè, òî
åñòü ñäâèã íà ïîëîâèíó ïåðèîäà ñîâìåñòíî ñ îòðàæåíèåì â
ïëîñêîñòè (ïëîñêîñòè ñêîëüæåíèÿ), èëè ñäâèã íà îäíó òðåòü
ïåðèîäà ñîâìåñòíî ñ ïîâîðîòîì âîêðóã íåêîòîðîé îñè íà 120°
(âèíòîâûå îñè).
Òåîðèÿ ãðóïï ïîçâîëèëà ïðîâåñòè ïîëíóþ êëàññèôèêà
-
öèþ êðèñòàëëîâ. Âñå êðèñòàëëû îòíîñÿòñÿ ê ñåìè ñèñòåìàì
èëè ñèíãîíèÿì: 1) òðèêëèííîé, 2) ìîíîêëèííîé, 3) îðòîãî
-
íàëüíîé, èëè ðîìáè÷åñêîé, 4) êâàäðàòè÷íîé, èëè òåòðàãî-
íàëüíîé, 5) ãåêñàãîíàëüíîé, 6) òðèãîíàëüíîé, èëè ðîìáîýä-
ðè÷åñêîé, 7) êóáè÷åñêîé.  çàâèñèìîñòè îò òèïà ðåøåòêè —
ïðîñòîé, áàçîöåíòðèðîâàííîé, îáúåìíîöåíòðèðîâàííîé èëè
ãðàíåöåíòðèðîâàííîé — ýòè ñåìü ñèñòåì ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà
14 òèïîâ ðåøåòîê. Âíóòðè ýòèõ òèïîâ ìîæíî âûäåëèòü 230
ïðîñòðàíñòâåííûõ ãðóïï. Òåì ñàìûì, íàïðèìåð, áîëüøèíñò-
âî ùåëî÷íî-ãàëîèäíûõ êðèñòàëëîâ, îáëàäàþùèõ îäíîé è òîé
æå ïðîñòðàíñòâåííîé ãðóïïîé, ñ òî÷êè çðåíèÿ ñèììåòðèè ñî-
âåðøåííî èäåíòè÷íû.
Âñå ïðèìåíåíèÿ òåîðèè ãðóïï â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îñíî-
âàíû íà òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï. Èç òîãî ôàêòà, ÷òî
êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà êðèñòàëëà ïîä äåéñòâèåì îïåðàöèé
ñèììåòðèè ñîâìåùàåòñÿ ñàìà ñ ñîáîé, íå ñëåäóåò, ÷òî âîëíî
-
âûå ôóíêöèè âåäóò ñåáÿ òàê æå.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå îíè ïîä
äåéñòâèåì îïåðàòîðîâ ñèììåòðèè äîìíîæàþòñÿ íà íåêîòîðûé
ôàçîâûé ìíîæèòåëü, â áîëåå ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ âûðàæàþòñÿ
÷åðåç ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ èñõîäíûõ ôóíêöèé.  ñèñòåìå
âîëíîâûõ ôóíêöèé ìîæíî âûäåëèòü áàçèñ ôóíêöèé. Ïîä äåé
-
ñòâèåì îïåðàöèé ñèììåòðèè
$
P
S
êàæäàÿ áàçèñíàÿ ôóíêöèÿ
y
i
ïðåîáðàçóåòñÿ â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ áàçèñíûõ ôóíêöèé:
$
()PS
Si
ki k
k
yy=
å
G
.
Êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ
G
ki
îáðàçóþò ìàòðèöó äëÿ
êàæäîãî ýëåìåíòà ãðóïïû
S
. Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ ìàòðèö äëÿ
65
ñîäåðæàò êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ. Òàê, îäíà èç ñàìûõ «áî-
ãàòûõ» ãðóïï òî÷å÷íîé ñèììåòðèè — ãðóïïà O h (ãðóïïà ñèì-
ìåòðèè êóáà) — ñîäåðæèò 48 ýëåìåíòîâ. Ïîëíàÿ ãðóïïà êðèñ-
òàëëà, òàê íàçûâàåìàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ãðóïïà, ñîäåðæèò
íàáîð ñîâîêóïíîñòåé ýëåìåíòîâ òðàíñëÿöèé è ýëåìåíòîâ òî-
÷å÷íîé ñèììåòðèè. Íåêîòîðûå ãðóïïû (íàçûâàåìûå íåñèì-
ìîðôíûìè â îòëè÷èå îò îñòàëüíûõ, èìåíóåìûõ ñèììîðôíû-
ìè) ñîäåðæàò òàê íàçûâàåìûå íåýëåìåíòàðíûå òðàíñëÿöèè, òî
åñòü ñäâèã íà ïîëîâèíó ïåðèîäà ñîâìåñòíî ñ îòðàæåíèåì â
ïëîñêîñòè (ïëîñêîñòè ñêîëüæåíèÿ), èëè ñäâèã íà îäíó òðåòü
ïåðèîäà ñîâìåñòíî ñ ïîâîðîòîì âîêðóã íåêîòîðîé îñè íà 120°
(âèíòîâûå îñè).
    Òåîðèÿ ãðóïï ïîçâîëèëà ïðîâåñòè ïîëíóþ êëàññèôèêà-
öèþ êðèñòàëëîâ. Âñå êðèñòàëëû îòíîñÿòñÿ ê ñåìè ñèñòåìàì
èëè ñèíãîíèÿì: 1) òðèêëèííîé, 2) ìîíîêëèííîé, 3) îðòîãî-
íàëüíîé, èëè ðîìáè÷åñêîé, 4) êâàäðàòè÷íîé, èëè òåòðàãî-
íàëüíîé, 5) ãåêñàãîíàëüíîé, 6) òðèãîíàëüíîé, èëè ðîìáîýä-
ðè÷åñêîé, 7) êóáè÷åñêîé.  çàâèñèìîñòè îò òèïà ðåøåòêè —
ïðîñòîé, áàçîöåíòðèðîâàííîé, îáúåìíîöåíòðèðîâàííîé èëè
ãðàíåöåíòðèðîâàííîé — ýòè ñåìü ñèñòåì ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà
14 òèïîâ ðåøåòîê. Âíóòðè ýòèõ òèïîâ ìîæíî âûäåëèòü 230
ïðîñòðàíñòâåííûõ ãðóïï. Òåì ñàìûì, íàïðèìåð, áîëüøèíñò-
âî ùåëî÷íî-ãàëîèäíûõ êðèñòàëëîâ, îáëàäàþùèõ îäíîé è òîé
æå ïðîñòðàíñòâåííîé ãðóïïîé, ñ òî÷êè çðåíèÿ ñèììåòðèè ñî-
âåðøåííî èäåíòè÷íû.
    Âñå ïðèìåíåíèÿ òåîðèè ãðóïï â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îñíî-
âàíû íà òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï. Èç òîãî ôàêòà, ÷òî
êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà êðèñòàëëà ïîä äåéñòâèåì îïåðàöèé
ñèììåòðèè ñîâìåùàåòñÿ ñàìà ñ ñîáîé, íå ñëåäóåò, ÷òî âîëíî-
âûå ôóíêöèè âåäóò ñåáÿ òàê æå.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå îíè ïîä
äåéñòâèåì îïåðàòîðîâ ñèììåòðèè äîìíîæàþòñÿ íà íåêîòîðûé
ôàçîâûé ìíîæèòåëü, â áîëåå ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ âûðàæàþòñÿ
÷åðåç ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ èñõîäíûõ ôóíêöèé.  ñèñòåìå
âîëíîâûõ ôóíêöèé ìîæíî âûäåëèòü áàçèñ ôóíêöèé. Ïîä äåé-
ñòâèåì îïåðàöèé ñèììåòðèè P$S êàæäàÿ áàçèñíàÿ ôóíêöèÿ y i
ïðåîáðàçóåòñÿ â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ áàçèñíûõ ôóíêöèé:
    P$ y = å G(S) y .
     S   i        ki   k
             k

Êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ Gki îáðàçóþò ìàòðèöó äëÿ
êàæäîãî ýëåìåíòà ãðóïïû S. Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ ìàòðèö äëÿ

                           65

Страницы