Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I. Васильев А.Н - 67 стр.

âñåõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû.
    Ïðåäñòàâëåíèå G(S) ki íàçûâàåòñÿ ïðèâîäèìûì, åñëè ñ
ïîìîùüþ óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæíî òàê ïðåîáðàçî-
âàòü áàçèñ {y i }, ÷òî âñå ýëåìåíòû ïðåäñòàâëåíèÿ G(S) ki äëÿ
âñåõ ýëåìåíòîâ S ãðóïïû ïðèíèìàþò âèä
           æ G ¢(S)     0 ö
    G(S) = ç                ÷,
           è 0      G ¢¢(S) ø

ïðè÷åì âîëíîâûå ôóíêöèè êàæäîé èç ÷àñòåé G ¢ è G ¢¢ ïðåîáðà-
çóþòñÿ ÷åðåç ôóíêöèè ñâîåé æå ÷àñòè. Ñóììà ðàçìåðíîñòåé
ìàòðèö G ¢ è G ¢¢ ðàâíà ðàçìåðíîñòè ìàòðèöû G. Â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìûì. Íåïðèâî-
äèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ èãðàþò îñíîâíóþ ðîëü â ïðèìåíåíèÿõ
òåîðèè ãðóïï â ôèçèêå. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî âîëíîâûå ôóíê-
öèè, ñîîòâåòñòâóþùèå îïðåäåëåííîìó óðîâíþ ýíåðãèè, ïðå-
îáðàçóþòñÿ ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ.
      êà÷åñòâå ïðèìåðà íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ìîæíî
ïðèâåñòè àòîìíûå ôóíêöèè s-, p-, d- è ò. ä. Ïðè ýòîì s-ôóíê-
öèè îáðàçóþò îäíîìåðíîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóï-
ïû âðàùåíèé âîêðóã öåíòðà àòîìà íà ïðîèçâîëüíûå óãëû,
p-ôóíêöèè — òðåõìåðíîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå è ò.ä.
Ïðè íàëîæåíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñèììåòðèÿ ñèñòåìû ïîíèæà-
åòñÿ — îñòàþòñÿ òîëüêî âðàùåíèÿ âîêðóã íàïðàâëåíèÿ ìàã-
íèòíîãî íîëÿ. Â ýòîé íîâîé ãðóïïå âñå ìíîãîìåðíûå p-, d- è
ò.ä. ïðåäñòàâëåíèÿ îêàçûâàþòñÿ óæå ïðèâîäèìûìè. Ôèçè÷åñ-
êè ýòî âûëèâàåòñÿ â ðàñùåïëåíèè (2l + 1)-êðàòíî âûðîæäåííî-
ãî óðîâíÿ íà 2l + 1 ïîäóðîâíåé.
      êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì âîëíîâóþ ôóíê-
öèþ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà V -1 2 exp(ikr) (V ÿâëÿåòñÿ íîðìè-
ðîâî÷íûì îáúåìîì ñèñòåìû), êîòîðàÿ ïðåîáðàçóåòñÿ ïî íåï-
ðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ ãðóïïû òðàíñëÿöèé íà ïðîèç-
âîëüíûå âåêòîðû. Ïîä äåéñòâèåì òðàíñëÿöèè íà âåêòîð a âîë-
íîâàÿ ôóíêöèÿ óìíîæàåòñÿ íà exp(ika). Åñëè â ïåðâîì ïðèìå-
ðå íîìåðîì íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿëîñü îðáè-
òàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî l, òî â ïîñëåäíåì ñëó÷àå — âîëíîâîé
âåêòîð k, êîòîðûé ìîæåò ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ.
     Âåðíåìñÿ ê ïðîñòðàíñòâåííîé ãðóïïå êðèñòàëëà. Íåïðè-
âîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû òðàíñëÿöèé êðèñòàëëà òîæå
êëàññèôèöèðóþòñÿ âîëíîâûì âåêòîðîì k. Îäíàêî òåïåðü âîë-
íîâîé âåêòîð ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ òîëüêî â îãðàíè÷åí-
íîé îáëàñòè — òàê íàçûâàåìîé ïåðâîé çîíå Áðèëëþýíà (
                                 66