ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15 16
Учитывая, что выражения в скобках равны единице, мы
приходим к противоречивому неравенству
.
2121 nn
xxxxxx
+
+
+
>++
+
Κ
Κ
Таким образом, неравенство
()
nixp
ii
,,2,1
Κ
=
> невозможно,
и условие
ii
xp ≥ принимает вид
(
)
.,,2,1 nixp
ii
Κ
=
=
(С
экономической точки зрения это понятно, так как все страны
не могут получать прибыль.)
Вводя вектор
(
)
n
xxxx ,,,
21
Κ
=
национальных доходов стран,
получим матричное уравнение
AX=X,
где X - матрица-столбец из координат вектора x, т.е. задача
свелась к отысканию собственного вектора матрицы A,
отвечающего собственному значению, равному единице.
Задача 4.1.
Структурная матрица торговли трех стран
321
,, SSS имеет
вид:
.
04/13/1
2/14/13/1
2/14/13/1
=A
Найти национальные доходы стран для сбалансированной
торговли.
Решение 4.1.
Находим собственный вектор X, отвечающий собственному
значению, равному единице. Решаем уравнение (A-E)X = 0
или систему:
=
−
−
−
0
0
0
14/13/1
2/12/13/1
2/14/13/2
3
2
1
x
x
x
методом Гаусса.
,
0|2/94/90
0|2/32/31
0|000
0|2/94/90
0|2/32/31
0|2/94/90
0|2/94/90
0|2/32/31
0|2/34/32
0|34/31
0|2/32/31
0|14/13/1
0|2/12/13/1
0|2/14/13/2
−
−
→
→
−
−
→
−
−
−
→
→
−
−
−
→
−
−
−
т.е. ранг матрицы системы r=2.
Определитель
4/90
2/31 −
отличен от нуля.
Поэтому можно оставить в левой части переменные
1
x и
2
x ,
которые возьмем за основные. Оставшуюся (неосновную)
переменную
3
x перенесем в правую часть.
В результате получим систему:
=
−=−
.
,
3
2
9
2
4
9
3
2
3
2
2
3
1
xx
xxx
Откуда
32
2xx
=
и
31
2
3
xx =
.
Задавая неосновной переменной произвольное значение
cx =
3
, найдем бесконечное множество решений системы:
.,2,
2
3
321
cxcxcx ===
