ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2
8
′′
+
′
+=yPxyPxy
12
0() () (12.2)
Функции Cx
1
()и Cx
2
()определяются из системы:
yC yC yC yC Qx
11 2 2 11 2 2
0
′
+
′
=
′′
+
′′
=,()(12.3)
Сначала находим
′′
CC
12
, , затем интегрированием CC
12
.
Заметим, что при всяком фиксированном x система (12.3) представляет собой
систему их 2-х линейных уравнений относительно неизвестных
′
=
′
CCx
11
()и
′
=
′
CCx
22
(). Определитель матрицы системы (12.3) равен определителю
Вронского системы функций
yx yx
12
(), (). Так как функции yx yx
12
(), ()
образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (12.2),
то определитель Вронского отличен от 0 при любом x . Значит, линейная
система
(12.3) имеет единственное решение .
Задача № 16. Найти решение задачи Коши:
()()
() ()
′′
+=
=
′
=
−−
yy x x
yy
sin cos ,
,
5
2
1
2
2
1
2
0
ππ
Решение. Соответствующее однородное уравнение
′′
+=yy0
.
Его характеристическое уравнение K
2
1
0
+= имеет корни Ki
12,
=± , иобщее
решение однородного уравнения имеет вид
yCxCx
00 1 2..
cos sin=+, где
yxyx
12
==cos , sin . Общее: решение исходного неоднородного уравнения
ищем в виде
yCx xCx x=+
12
()cos ()sin .
Составляем систему уравнений (12.3) для
′′
CC
12
, :
()()
cos ( ) sin ( )
sin ( ) cos ( ) sin cos
xC x xC x O
xC x xC x x x
′
+
′
=
−
′
+
′
=
−−
12
12
5
2
1
2
(12.4)
Решаем систему (12.4) методом Крамера:
∆=
−
=+=≠
cos sin
sin cos
cos sin ;
xx
xx
xx
22
10
()()
()()
()()
()()
∆
∆
1
25 05
15 05
2
25 05
25 05
0
0
==−
=
−
=
−−
−−
−−
−
sin
sin cos cos
sin cos ;
cos
sin sin cos
sin cos ;
,,
,,
,,
,,
x
xx x
xx
x
xx x
xx
получаем:
()()
′
==− =−
−−
Cx x x
xx
1
1
15 05
3
1
() sin cos
sin cos
;
,,
∆
∆
