Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2
6
Сокращаем на e
x
и приводим подобные члены: −+−=2
2
Ax A B x .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
x влевойиправой
частях тождества, находим:
AB=− =−05 1,, .
Имеем:
y
ч.н. =− +
x
xe
x
2
2
.
Общее решение уравнения имеет вид:
yy y=+
00..
ч.н. =+ −+
Ce Ce
x
xe
xx x
12
2
2
2
.
Задача № 14(1).
Найти общее решение уравнения
′′
+
′
+=
yyy x25172cos .
Решение.
KK K i
2
12
250 1 412 1 2++= =−±−=−± =− =,,,,
,
αβ
()
yeC xC x
x
00 1 2
22
..
cos sin=+
−
.
Так как
γ
ω
+=ii2 не совпадает с корнями характеристического уравнения, то
y
ч.н.
=+AxBxcos sin22
. Подставляя y
ч.н.
в исходное уравнение, получаем
тождество
()()
−−+−+ + +−=4 24 222 22 2 5 2 2 1720AxBx AxBxAxBx xcos sin sin cos cos sin cos
Приравнивая к нулю суммарные коэффициенты при
c
os
2
x и sin
2
x , получаем:
cos : ; sin :24 4 5 17 24 4 5 0xA BA xB AB−+ += −− +=.
Решая систему, находим:
AB==14, , тогд а y
ч.н.
=+cos sin2
4
2
xx
. Для общего
решения получаем выражение:
yCexCexx x
xx
=+++
−−
12
22242cos sin cos sin .
Задача № 14(2).
Найти общее решение уравнения
′′
−
′
+=
yyye x
x
44
2
cos .
Решение.
KK
2
440−+=или
()
K −=20
2
. Корень K = 2 кратности 2,
поэтому
yCeCxe
xx
00 1
2
2
2
..
=+ . Так как
γ
ω
+=+
i
i
2
не совпадает с корнями
характеристического уравнения, положим
y
ч.н.
=+Ae x Be x
xx22
cos
s
in
.
Подставляя
y
ч.н.
в исходное уравнение и сокращая на e
x2
, будем иметь:
()
()
343442 2
40
Ax AxBxBx AxAxBxBx
AxBx x
cos sin sin cos cos sin sin cos
cos sin cos
−++− −+++
++−=
П
Приравнивая к нулю суммарные коэффициенты при
cosx и sin x , получим
ABy=− =10,,
ч.н.
=−ex
x2
cos
. Общее р ешение имеет вид
yCe Cxe e x
xxx
=+ −
1
2
2
22
cos .
Задача № 15. Найти общее решение уравнения
′′
−
′
+= +
yyyeex
xx
2sin.

Страницы