Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2
4
Решение. Характеристическое уравнение KKK
32
45
0
−+=имеет три
простых корня:
KK iK i
12 3
02 2==+=−,,. Значит
yy C Ce xCe x
xx
==+ +
00 1 2
2
3
2
..
cos sin .
Задача № 12(2).
Найти общее решение однородного уравнения:
yyy
()4
440+
′′
+=.
Решение.
Характеристическое уравнение KK
42
4
4
0++=имеет корни
Ki
12
2
,
=± кратности 2. Следовательно, общее решение уравнения
yy C xCx xC xCx x== + + +
00 1 2 3 4
2222
..
cos cos sin sin .
Задача № 12(3).
Найти общее решение дифференциального уравнения:
′′
−
′
+=−+yyyxx56 2
2
.
Решение.
Характеристическое уравнение KK
2
560−+=имеет корни
кратности 1:
KK
12
23==, . Значит, yCeCe
xx
00 1
2
2
3
..
=+. Так как
γ
ω
+=i
0
не
совпадает с корнями, частное решение следует искать в виде:
y
ч.н.
=++Ax Bx C
2
. Подставляя y
ч.н.
в исходное уравнение, получаем тождество:
()
()
252 6 2
22
A Ax B Ax Bx C x x− ++ ++=−+
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x влевойиправой
частях тождества:
xAB xA:;:−+=− =10 6 1 6 1
2
; свободные члены:
2562ABC−+=.
Решая систему, находим:
ABC===
1
6
1
9
10
27
,
,
. Значит,
y
ч.н.
=++
1
6
1
9
10
27
2
xx; общее решение уравнения имеет вид
yy y=+
00..
ч.н.
=++++Ce Ce x x
xx
1
2
2
32
1
6
1
9
10
27
.
Задача № 12(4).
Найти общее решение уравнения:
′′′
−
′′
+
′
=+yyyxx
56186
2
.
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид:
KKK
32
560−+=, или
()
KK K
2
560−+=; его корни KKK
12 3
023===,,
(все корни простые). Тогда yCeCeCeCCeCe
xxx xx
00 1
0
2
2
3
3
12
2
3
3
..
=++=++.
Т.к. среди корней характеристического уравнения есть
K = 0, совпадающий с
числом
γ
ω
+=+=
i
i
0
0
0, то
y
ч.н.
()
=++=++x Ax Bx C Ax Bx Cx
232
.
Подставляя
y
ч.н.
в исходное уравнение, получаем:
()
()
656 2 63 2 18 6
22
A Ax B Ax Bx C x x−++ ++=+.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
x:

Страницы