Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2
2
где aa a
n01
, , ..., - постоянные (a
n
≠ 0).
Метод решения
. Общее решение уравнения (11.1) складывается из общего
решения y
00..
однородного уравнения
ay a y ay ay
n
n
n
n
() ( )
...+++
′
+=
−
−
1
1
10
0 (11.2)
и частного решения
y
ч.н.
неоднородного уравнения (11.1): yy y=+
00..
ч.н.
.
А) Для нахождения
y
00..
составляем характеристическое уравнение
aK a K aK a
n
n
n
n
++++=
−
−
1
1
10
0... .
Пусть
KK K
n12
, , ..., - его корни, причем, корень повторяется столько раз,
какова его кратность. Каждому из корней
KK K
n12
, , ..., соответствуют в
выражении для
y
00..
свои слагаемые. Именно:
а) если корень
KK K
m12
====...
λ
- действительный корень кратности m,
то ему соответствуют в выражении для
y
00..
m слагаемых
Ce Ce x C e x
xx
m
xm
12
1
λλ λ
+++
−
... , где Ci m
i
, ,...= 1 - произвольные постоянные.
Например, если корень имеет кратность
m
= 1, то ему соответствует одно
слагаемое
Ce
x
1
λ
; если m =
2
- два слагаемых: Ce Ce x
xx
12
λλ
+ ;
б) если
Ki
1
=+
α
β
и Ki
2
=−
α
β
- пара комплексно-сопряженных корней
кратности
m, то соответствующие (2
m
) слагаемых в выражении для y
00..
имеют
вид:
Ce x C xe x C x e x
Ce xC xe x Cxe x
xx
m
mx
m
x
m
x
m
mx
12
1
1
2
2
1
αα α
αα α
ββ β
ββ β
cos cos ... cos
sin sin ... sin
+++ +
+++
−
++
−
где Ci m
i
( , ,..., )= 12 2 - произвольные постоянные.
Например, если
Ki
12,
=±
α
β
- корни кратности 1, то им в выражении для y
00..
соответствуют слагаемые Ce x Ce x
xx
12
αα
ββ
cos sin+ ; если эти корни имеют
кратность 2, то в выражении для
y
00..
войдут слагаемые
Ce xCxe xCe xCxe x
xxxx
12 34
ββββ
cos cos sin sin+++.
Б) Частное решение
y
ч.н.
неоднородного уравнения (11.1) находим
методом подбора, который можно применить, в частности, вслучае, когда вид
правой части уравнения (11.1) следующий
[]
fx e Px x Q x x
x
sm
() ()cos ()sin=+
γ
ωω
, (11.3)
где
Px
s
()и Qx
m
()-многочлены степени s и m соответственно;
γω
, -
некоторые действительные числа. При этом
y
ч.н.
необходимо искать в виде
y
ч.н.
[]
=+xe Px x Q x x
kx
γ
ωω
~
()cos
~
()sin
ll
, (11.4)
где
{}
l
ll
= max , ;
~
();
~
()sm P x Q x -многочлены степени l с неопределенными
коэффициентами; к есть кратность числа
()
γ
ω
+ i как корня

Страницы