Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2
1
Заметим, что утверждение, обратное утверждению теоремы 10.2, вообще
говоря, неверно.
ТЕОРЕМА 10.3. Пусть функции
yx yx yx
n12
(),(),...,()все являются
решениями линейного однородного уравнения
n -го порядка (10.1). Тогда:
1) Определитель Вронского системы функций либо равен 0 влюбойточке
(;)ab , либо отличен от 0 в любой точке
(
;
)
ab .
2) Система функций является линейно независимой системой на
(;)ab тогда и
только тогда, когда вронскиан системы отличен от 0 в любой точке интервала
(;)ab .
3) Система функций является линейно зависимой системой на
(
;
)
ab тогда и
только тогда, когда вронскиан системы равен 0 в любой точке
(
;
)ab .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Фундаментальной системой решений линейного
однородного д.у.
n
-го порядка (10.1) называется система функций
yx yx yx
n12
(),(),...,(), удовлетворяющая условиям:1)каждая функция
системы является решением д.у.(10.1); 2) система функций линейно
независимая.
ТЕОРЕМА 10.4. Общее решение линейного однородного д .у.
n
-го порядка
(10.1) имеет вид: yCyx Cyx Cyx
nn
=+++
11 2 2
() ()... (), где CC C
n12
, ,... -
произвольные константы, а функции
yx yx yx
n12
(),(),...,()образуют
фундаментальную систему решений д.у. (10.1).
Линейным неоднородным
д.у.
n
-го порядка называется уравнение
p xy p xy p xy pxy fx
n
n
n
n
n
n
() () () ... () ()
() ( ) ( )
++++=
−
−
−
−
1
1
2
2
1
(10.3)
ТЕОРЕМА 10.5. Общее решение линейного неоднородного д.у.(10.3)
имеет вид суммы:
yy y y==+
000...Η
ч.н.
общего решения y
00..
линейного
однородного уравнения (10.1), соответствующего данному, икакого-либо
частного решения
y
ч.н.
неоднородного уравнения (10.3).
Учитывая утверждение теоремы 10.4, общее решение линейного
неоднородного д.у.
n
-го порядка можно записать в виде:
yCyx Cyx Cyx y
nn
=++++
11 2 2
() ()... ()
ч.н.
.
11. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Признак.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами имеет вид:
ay a y ay ay f x
n
n
n
n
() ( )
... ( )+++
′
+=
−
−
1
1
10
, (11.1)

Страницы