Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

1
9
Это линейное уравнение для py(). Найдем общее решение однородного
уравнения:
′
−= = = = + =
∫∫
p
p
y
dp
p
dy
y
dp
p
dy
y
pyCpCy0, , ln ln ln , .
Считая CCy= ()функцией и подставляя p
C
yy=⋅
(
)
в уравнение (9.2),
получим:
′
=
′
==+Cyy y Cy Cy y C() , () , ()1
1
, pyyC
dy
dx
yy C=+ =+(), ()
11
.
Разделяем переменные и интегрируем
dy
yy C
dx
()
,
+
=
1
()
ln ,
y
yC
xC C C
+
=+ ≠
1
12 1
0 .
Последнее соотношение есть общий интеграл исходного уравнения. Кроме
того, уравнение имеет решения
yC y
Cx
==
−
,
1
. Удовлетворим начальным
условиям. Соотношение
′
=+yyyC()
1
сучетомусловиядля
′
y ()0
дает:
−=− −
=
1
4
1
2
1
2
1
11
CC, ; согласно начальному условию для y
(
)0 из общего
интеграла получаем
C
2
0= . Функции y
C
= и
()
yCx=−1/ начальным
условиям не удовлетворяют.
Ответ.
ln
y
y
x
+
=
1
или y
e
e
x
x
=
−
1
.
10. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Линейным однородным
дифференциальным уравнением (д.у.)
n
-го
порядка называется уравнение вида:
p xy p xy p xy pxy
n
n
n
n
n
n
() () () ... ()
() ( ) ( )
++++=
−
−
−
−
1
1
2
2
1
0 (10.1)
где
px p x px
nn
( ), ( ), ..., ( )
−11
- функции, непрерывные на интервале
(,), ()ab p x
n
≠ 0.
ТЕОРЕМА 10.1. Если функции
yyx
11
= () и yyx
22
= () есть решения
уравнения (10.1), то функция
Cy Cy
11 2 2
+ также является решением уравнения
(10.1) при любых значениях констант
C
1
и C
2
.
Пусть имеем систему из
n функций yx yx yx
n12
(), (),..., (), определенных
на интервале
(,
)
ab . Функции yx yx yx
n12
(), (),..., () называются линейно
зависимыми на
(,
)
ab , если существуют числа CC C
n12
,,...,, не все равные

Страницы