Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 17 стр.

UptoLike

Рубрика: 

1
7
По условию задачи угол между векторами MN
и j
острый, значит, при x > 0
выполняется условие
>y 0
. Это означает, что
=+ =− +yx xy xC/,100 100
22
. Кривая проходит через т. M
0
61(;),
значит, при
xy==61,,отсюда С=9.
Ответ:
yx=− +100 9
2
.
Задача 9".
Найти линию, проходящую через точку M
0
84(,), если
отрезок любой ее касательной, заключенный между о сями координат, делится
точкой касания в отношении
ab::= 2
3
(считая от оси Oy ):
Решение.
Рассмотрим рис.8.2.
Запишем уравнение касательной, проведенной к кривой yyx=
(
)
через
т.
Mxy
(
,):
YyyxXx−=
()( ).
Согласно этому уравнению находим координаты точки
N - точки пересечения
касательной с осью
Oy X: = 0, тогда Yyxyx=−
(). Для точки PY: = 0,
тогда
Xxyy=−
/ . Находим длины отрезков:
MN x X y Y x x y MP y y y
222222222
=− + = +
=
+()() (); (/). Согласно
условию задачи
MN MP:
:
= 23, тогда
9
4
22
MN MP= . Подставляя в это
равенство выражения для
MN и MP , получим дифференциальное уравнение
99 4 4
2222 22
xxy yy y+
=
+() /() .
Решая его:
94
2
3
2
3
22 2
xy y y
y
x
dy
y
dx
x
() , , ,
=
ln lnyxC
2
3
0
,
получаем общее р ешение:
yCx=
±
()
/23
. При xy>>00, имеем
<y 0
,
поэтому
=−yyx23/( )
. Интегрируя, находим: yCx=
23/
. Полагая
xy==84, , получаем C = 16.
Ответ:
yx=
16
23/
.
9. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Укажем два вида дифференциальных уравнений, допускающих понижение
порядка.