Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

1
8
Признак 1. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до
порядка (К-1) включительно, т.е. младшая производная, входящая в уравнение,
есть
y
K()
.
Метод решения:
замена py
K
=
()
, понижающая порядок уравнения на К
единиц. При этом
ppx= ()есть функция переменной x .
Задача № 10.
Найти общее решение дифференциального уравнения
xy y x y x
′′′
=
′′
++
′′
>
22
0()( ).
Решение.
Уравнение не содержит функции y и ее производной
′
y
. Введем
новую неизвестную функцию
px y x() ()=
′′
. Уравнение примет вид:
xp p x p p
p
x
p
x
′
=+ +
′
=+ +
22
2
1, . (9.1)
Это однородное уравнение. Введем новую функцию
ux px x() (
)
/
= :
xu u u u x
du
d
x
u
′
+=+ + = +11
22
, .
Разделяем переменные и интегрируем:
du
u
dx
x
uuxCuuCxCxuCx
1
1121
2
2222
+
=++= ++=−+=,ln ln , ,
.
Так как
upx= / , то: −+ = = −21
2
1
2
22 2
Cp C x p x
C
x
C
,() .
Мы получили общее решение уравнения (9.1). Учитывая, что
py=
′′
, имеем:
′′
=−y
C
x
C2
1
2
2
. Отсюда двухкратным интегрированием находим yx():
′
=−+ = − ++y
C
x
C
xC y
C
x
C
xCxC
6
1
2
2
4
1
4
3
1
42
12
, .
Признак 2.
Уравнение не содержит независимого переменного x .
Метод решения:
замена
′
=ypy()
. При этом p рассматривается как новая
неизвестная функция от
yp py
:
(
)
= . Тогда
′′
=
′
==⋅=
′
y
dy
dx
dp
dx
dp
dy
dy
dx
pp,
′′′
=
′′
=
′
=
′
⋅+
′
⋅=
′
⋅⋅+
′
⋅⋅ =
′′
⋅+
′
⋅y
dy
dx
dpp
dx
dp
dx
pp
dp
dx
dp
dy
dy
dx
pp
dp
dy
dy
dx
pp p p
()
()
22
Аналогично находят производные более высокого порядка. Замена
понижает порядок уравнения на единицу.
Задача № 11.
Найти решение задачи Коши:
yy y y y y y
′′
−
′
=
′
=−
′
=−() ,(),,(),.
22
005 0025
Решение. Вводим новую функцию py y()=
′
. Имеем
ypp p y p p p y y
′
−=
′
−=
22
,/. (9.2)

Страницы