Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2
0
0, такие, что для всех xab∈
(
,
)
справедливо тождество
Cy x Cy x Cy x
nn11 2 2
0() ()... ()+++=. Если же это тождество выполняется только
при
CC C
n12
===... , то функции yx yx yx
n12
( ), ( ), ..., ( )называются линейно
независимыми на (,)a
b
.
ПРИМЕР 10.1. Доказать, что функции
1
22
,cos,sinxxобразуют линейно
зависимую систему на интервале
(;
)
−∞ ∞ .
Решение.
Действительно, равенство CC xCx
12
2
3
2
10⋅+ + =cos sin
выполняется для всех x ∈−∞∞
(
;)при CCC
123
11===−, . Значит, функции
линейно зависимые.
ПРИМЕР 10.2. Доказать, что система функций
1
2
,,xx линейно
независимая на интервале
(
;
)−∞ ∞ .
Решение.
Равенство CCxCx
12 3
2
10⋅+ ⋅ + ⋅ = должно выполняться при
любом
x ∈−∞∞(;). Положим здесь x = 0 , в результате получим C
1
0= .
Равенство примет вид:
Cx Cx
23
2
0+=. Дифференцируя обе части равенства,
получаем:
CCx
23
20+=, откуда, полагая x = 0 , находим C
2
0= . ТогдаC
3
0= .
Т.к. все значения
CCC
123
,, равны 0, то система функций линейно
независимая.
Пусть
n функций yx yx yx
n12
(), , (), ..., ()имеют производные ()n −
1
-го
порядка. Определитель
Wx
yx yx y x
yx yx y x
yxyx yx
n
n
nn
n
n
()
() () ... ()
() () ... ()
... ... ... ...
() () ... ()
() () ()
=
′′ ′
−− −
12
12
1
1
2
11
(10.2)
называется определителем Вронского
или вронскианом. Вронскиан является
функцией от
x ,определенной в некотором интервале.
ТЕОРЕМА 10.2. Если определитель Вронского системы функций
yx yx yx
n12
( ), ( ), ..., ( )отличен о т 0 в любой точке интервала
(
,
)
ab , то
функции образуют линейно независимую систему на этом интервале.
ПРИМЕР 10.3. Доказать, что функции
ee
xx
,
2
образуют линейно
независимую систему на интервале
(
;
)−∞ ∞ .
Решение. Находим вронскиан системы функций
yeye
xx
12
2
==, :
Wx
ee
ee
ee
ee
eee
xx
xx
xx
xx
xxx
()
() ( )
=
′′
==−=
2
2
2
2
333
2
2
. Т.к. Wx()≠
0
, то система
функций линейно независимая.

Страницы