Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2
3
характеристического уравнения (если
(
)
γ
ω
+
i
не является корнем, то к=0). Если
правая часть уравнения (11.1) содержит несколько слагаемых вида (11.3), то
частные решения находятся для каждого слагаемого отдельно, и затем
суммируются в выражении для общего р ешения неоднородного уравнения.
Частные случаи.
Если fx Px
s
() ()= -многочлен степени
s
(тогда в (11.3)
γ
ω
==0), то y
ч.н.
= xPx
k
s
~
()
, где
~
()Px
s
-многочлен степени
s
с
неопределенными коэффициентами; к - кратность нулевого корня
Ki=+ =
γ
ω
0 (т.е. кратность числа “ноль” как корня характеристического
уравнения). Например, если
K =
0
не является корнем характеристического
уравнения, то
y
ч.н.
=
~
()Px
s
; если K =
0
- корень кратности 1, то y
ч.н.
= xP x
s
~
()
;
если
K = 0- корень кратности 2, то y
ч.н.
= xPx
s
2
~
()
; если K = 0- корень
кратности 3, то
y
ч.н.
= xP x
s
3
~
()
ит.д.
Если
fx ePx
x
s
() ()=
γ
(в (11.3)
ω
=
0
), где Px
s
()многочлен степени
s
,
γ
-
некоторое число, то
y
ч.н.
= xe P x
x
s
κ
γ
~
()
, где
()Px
s
-многочлен степени
s
с
неопределенными коэффициентами; к-кратность числа
γ
как корня
характеристического уравнения. Например, если число
γ
не является корнем,
то
y
ч.н.
=ePx
x
s
γ
~
()
; если
γ
-корень кратности 1, то y
ч.н.
= xe P x
x
s
γ
~
()
; если
γ
-
корень кратности 2, то
y
ч.н.
= xe P x
x
s
2
γ
~
()
, ит.д. Все рассуждения справедливы
для случая
s = 0, когда Px a const Px a const
ss
() ,
()
~
== == .
Если
fx Px x Q x x
sm
() ()cos ()sin=+
ω
ω
(в (11.3)
γ
= 0), то
y
ч.н.
()
=+xPx xQx x
κ
ωω
~
()cos
~
()sin
ll
, где к-кратность числа Ki=
ω
как корня
характеристического уравнения,
{}
l = max ,sm.
Если
()
fx e a x b x
x
() cos sin=+
γ
ωω
, где
γ
,,ab-некоторые числа (в (11.3)
Px Q x
sm
(), ()- многочлены нулевой степени, т.е. sm==0), то
y
ч.н.
()
=+xe a x b x
x
κ
γ
ωω
~
cos
~
sin
, где
~
,
ab- подлежащие определению
произвольные постоянные, к-кратность числа
Ki=+
γ
ω
как корня
характеристического уравнения. В частности, при
γωω
==+0 fx a x b x() cos sin , y
ч.н.
()
=+xa xb x
κ
ωω
~
cos
sin , апри
ω
= 0 имеем
fx ae
x
()=
γ
, y
ч.н.
=
~
ax
e
x
κ
γ
.
Замечание.
Когда выражение (11.3) содержит или только sin
ω
x, или
только
cos
ω
x , частное решение y
ч.н.
необходимо искать в виде, содержащем
слагаемые и с
sin
ω
x, исcos
ω
x .
Задача № 12(1).
Найти общее решение однородного уравнения:
′′′
−
′′
+
′
=yyy450
.

Страницы