Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2
5
18 18 30 12 6 6 10 6 0AABABC=−+ = − +=,, .
Решая систему, находим:
ABC===134,, , тогда y
ч.н.
=+ +xxx
32
3
4
,
и
общее р ешение имеет вид
yC Ce Ce x x x
xx
=+ + ++ +
12
2
3
332
34.
Задача № 12(5).
Найти общее решение уравнения:
yyyx
() () ()4322
56−+=.
Решение.
Имеем KKK
432
560−+=или
()
KK K
22
560−+=.
Корни:
K
1
0= (кратности 2), K
2
2= и K
3
3= (простые). Получаем:
yCCxCeCe
xx
00 1 2 3
2
4
3
..
=+ + + . Т.к.
γ
ω
+=i 0 является корнем кратности 2
характеристического уравнения, то
y
ч.н.
()
=++xAx BxC
22
. Далее решение
строится аналогично предыдущей задаче.
Находим:
y
ч.н
= Ax Bx Cx
432
++,
′
y
ч.н
= 432
32
Ax Bx Cx++,
′′
y
ч.н
=12 6 2
2
Ax Bx C++,
′′′
y
ч.н
=24
6
Ax B
+
,
y
()4
ч.н
=24A. Подставляем функцию
y
ч.н
и ее производные в исходное уравнение, получаем тождество:
()
()
24 5 24 6 6 12 6 2
22
A Ax B Ax Bx C x−++ ++=.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x, получаем систему
линейных уравнений относительно неизвестных А, В, С:
x
x
A
AB
ABC
A
AB
AB C
2
1
72 1
120 36 0
24 30 12 0
72 1
10 3 0
4520
=
−+=
−+=
⇔
=
−+=
−+ =
,
,
Решая систему, находим: AB C== =
1
72
5
108
19
216
,,
,
y
ч.н.
=
1
72
5
108
19
2
16
432
xxx++.
Общее решение уравнения есть:
y C Cx Ce Ce x x x
xx
=+ + + + + +
12 3
2
4
3432
1
72
5
108
19
216
Задача № 13. Найти общее решение ур авнения:
′′
−
′
+=
yyyxe
x
32 .
Решение.
Характеристическое уравнение KK
2
320−+=имеет простые
корни
K
1
1= и K
2
2= . Значит, yCeCe
xx
00 1 2
2
..
=+ . Переходим к отысканию
y
ч.н.
. Правая часть уравнения имеет вид fx xe
x
()= . Здесь
γω
===101,,s .
Число
γ
ω
+=i 1 является корнем кратности 1 характеристического уравнения,
значит к=1,
y
ч.н.
()
=+Ax B xe
x
.
Подставив
y
ч.н.
и ее производные в исходное уравнение, получим:
()()()
e Ax Ax Bx A B e Ax Ax Bx B e Ax Bx xe
xxxx222
42232 2++++− ++++ +=

Страницы