Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

4
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемые методические указания являются руководством для
выполнения типового расчета по теме “Дифференциальные уравнения” из
учебного пособия Л.А. Кузнецова “Сборник заданий по высшей
математике”(типовые расчеты).
Типовой расчет содержит теоретические вопросы, теоретические
упражнения и практические задачи. Теоретические вопросы и упражнения
являются общими для всех студентов, практические задачи - индивидуальные.
Целью типового расчета является о бучение студентов некоторым методам
аналитического решения простейших дифференциальных уравнений, атакже
их качественного исследования.
В подразделах 3-12 изложены практические рекомендации по выполнению
задач 1-16 типового расчета из [5](номера задач в данных указаниях
совпадают с номерами в [5]).
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА -
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальным уравнением
(д.у.) называется уравнение, связывающее
независимую переменную x , функцию yyx=
(
)
переменной x иее
производные
′′′
yy y
n
,,...
()
. Наивысший порядок производной, входящей в
уравнение, называется порядком
д.у. Решением д.у. на интервале (;)a
b
называется функция yJx= (
)
такая, что подстановка функции yJx= ()вд.у.
превращает уравнение в тождество по
x на
(
;
)
ab . График решения д.у.
называется интегральной кривой
этого уравнения.
Рассмотрим д.у.1-го порядка, разрешенное относительно производной:
′
=yfxy(,)
, где fxy(,
)
- некоторая функция 2-x переменных. Пусть даны
числа
xy
00
, .
Задачей Коши
для д.у.1-го порядка называется задача: найти решение д.у.
′
=yfxy(,)
, удовлетворяющее начальному условию yx y()
00
= . Геометрически
это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через
точку
Mxy
000
(,)на плоскости xOy.
ТЕОРЕМА 1.1 Пусть дано д.у.
′
=yfxy(,)
, где функция fxy
(
,
)
определена в некоторой области D плоскости xOy, содержащей точку
Mxy
000
(,). Пусть выполняются условия:
1)
fxy
(
,)есть непрерывная функция 2-х переменных в области D ;
2)
fxy
(
,)имеет частную производную
′
fxy
y
(,), ограниченную в D .
Тогда найдется интервал
(;)xhxh
00
−+, на котором существует
единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию
yx y()
00
= .

Страницы