Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

5
ПРИМЕР 1.1. Рассмотрим задачу Коши:
′
==yy y
2
3
01,(). Здесь
fxy y(,)=
2
3
- непрерывная функция на всей плоскости xOy;
′
=
−
fxy y
y
(, )
2
3
1
3
.
По условию,
xy
00
01==, . В окрестности точки M
0
01(;) частная
производная
′
fxy
y
(,) ограничена, значит, все условия теоремы 1.1
выполняются. Задача Коши имеет единственное решение. Заметим, что
′
fxy
y
(,)обращается в бесконечность при y = 0, т.е. на оси Ox, поэтому в
точках оси
O
x возможно нарушение единственности.
Пусть дана задача Коши, и в области
D выполняются условия теоремы
1.1. Общим решением
д.у.
′
=yxy(,)
называется функция yJxC= (
,
),
зависящая от переменной
x и константы C , удовлетворяющая условиям:1)
при любом значении
C функция yJx
C
=
(
,
)
является решением уравнения;2)
при любом начальном условии
yx y()
00
= , таком, что Mxy D
000
(;)∈ , найдется
такое значение константы
C
, при котором функция yJx
C
= (,
)
будет
удовлетворять данному начальному условию. Частным решением
д.у.
называется решение, полученное из общего при каком-либо фиксированном
значении константы
C
. Общим интегралом д.у. называется соотношение вида
Φ(,, )xyC = 0, неявно определяющее общее р ешение д.у. Решение yJx= (
)
д.у.
называется особым
, если в каждой точке его графика нарушается свойство
единственности, т.е. если через каждую точку Mxy
000
(;)кроме интегральной
кривой этого решения проходит также интегральная кривая другого решения
д.у.
ПРИМЕР 1.2. Доказать, что функция
yxC=+()/
3
27 является общим
решением д .у.
′
=yy
2
3
в области D : y >
0
.
Решение.
Находим производную:
′
=+=+yxCxC
1
2
7
39
22
()()/и
подставляем
y и
′
y
в уравнение:
()
()/()/xC xC+=+
23
2
3
927- получили
верное равенство. Пусть дано условие
yx y()
00
= , где y
0
0> . Тогда
yxC
00
3
27=+()/, что равносильно Cy x=−3
0
1
3
0
. Это о значает, что при
данном значении С функция
yxC=+()/
3
27 удовлетворяет условию
yx y()
00
= . Значит, y есть общее решение.
Заметим, что функция
y = 0 также является решением д.у., это проверяется
непосредственно. Пусть начальное условие будет вида
yx()
0
0= . Тогда этому
условию будут удовлетворять два решения:
y = 0 и yxC=+()/
0
3
27 , где
Cx
00
=− . Поэтому решение y = 0 есть особое решение д.у.

Страницы