Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7
3. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Признак.
Дифференциальное уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными имеет вид
dy
d
xPxQy/()()= или
P x Q y dx P x Q y dy
11 2 2
0() () () ()+=, где PQ P Q P Q,,, , , ,
112 2
- некоторые функции.
Метод решения.
Следует разделить переменные, то есть привести
уравнение к виду
dy
Qy
Pxdx
()
()=
или −=
Qy
Qy
dy
Px
Px
dx
2
1
1
2
()
()
()
()
и проинтегрировать
обе части уравнения по соответствующей переменной.
Задача№1.
Найти общий интеграл уравнения: xyyxy
2323
81−= −
′
.
Решение.
Производную
′
y
представим по формуле
′
=y
dy
dx
как отношение
2-х дифференциалов. Уравнение принимает вид:
xyyx
dy
dx
2323
81−= − .
Разделяем в уравнении переменные (т.е. все множители, содержащие
y,
переносим в правую часть уравнения, а все множители с
x - влевую),
получаем:
xdx
x
ydy
y
2
3
2
3
18−
=
−
. Интегрируем:
xdx
x
ydy
y
2
3
2
3
18−
=
−
∫∫
. Вычисляем
каждый из полученных интегралов методом подведения под знак
дифференциала:
xdx
x
dx
x
tx
dt
t
tdt
t
CxC
ydy
y
yC
2
3
3
3
3
1
2
12
3
2
3
3
1
1
3
1
1
1
1
3
1
3
1
31 2
2
3
1
8
2
3
8
−
=−
−
−
==− =− =
=− =− + =− − +
−
=− − +
∫∫∫
∫∫
−
()
/
,.
/
Общий интеграл дифференциального уравнения есть: −−+=
2
3
1
3
xC
=− −
2
3
8
3
y , где C- произвольная постоянная. Сокращая обе части уравнения
на (-2/3) и заменяя число
C на другую константу CC
1
3
2
=−
, получаем:
18
3
1
3
−+=−xC y.
Замечание:
решением уравнения является также y =
2
, которое не входит в
общий интеграл и которое мы потеряли, производя деление на
8
3
− y . Это
решение является особым.

Страницы