Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

9
Положим cosu = 0, тогда yx n nN=+
∈
π
π
2
, . Эти функции также являются
решениями исходного уравнения.
Задача № 3.
Найти общий интеграл уравнения
′
=
−−
−+
y
yx
xy
21
2
Решение. Это уравнение, приводящееся к однородному.
Сделаем замену
xx h yy k=+ =+
11
, . Тогда уравнение примет вид
dy
dx
yx kh
xy hk
1
1
11
11
221
2
=
−+−−
−+−+
()( )
()( )
.
Выбирая
kh hk−−= −+=210 20, , т.е. hk==13, и поделив числитель
и знаменатель дроби на
x
1
, получим однородное уравнение
()()
dy dx y x y x
11 11 11
21////=−−,которое заменой yxux
111
= ()приводится к
уравнению с разделяющимися переменными:
()()
xdu dx u u u
11
21//+= − − .
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
1
2
2
1
1
−
−
=
u
u
du
dx
x
,
1
22
1
22
2
2
1
2
2
2
2
222222
12 212 222
22
22
1
1
2
1
11
11
12 12
1
22
u
u
u
du
dx
x
u
u
uxC
u
u
uu xC
uuxC
uuCx
−
−
−
=
−
+
−−=+
−
+
−−−+= +
−−−−+= +
−+=
∫∫
−+
,
ln ln ln ln ,
ln ln ln ln ln ,
( )ln ( )ln ln ln .
()()
Возвращаясь к переменным xyu
y
x
y
x
, ==
−
−
1
1
3
1
, общий интеграл уравнения
запишем в виде
y
x
y
x
Cx
−
−
−
−
−
+
=
−+
3
1
2
3
1
2
12 12
1
22
.
5. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ.
Признак.
Линейное уравнение 1-го порядка имеет вид
′
+=yPxyQx() ()
, (5.1)

Страницы