Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

1
1
()
2001yyyxdyydx yln , ( ) .+− − = =
Решение. Уравнение можно привести к уравнениям вида
dy
dx
y
yyyx
dx
dy
yyyx
y
=
+−
=
+−
2
2
ln
,
ln
.
Первое уравнение для функции yyx=
(
)
нелинейное, второе после
элементарных преобразований приводится к виду
dx
dy y
xy+=+
1
12ln.
(5.3)
Последнее уравнение является линейным относительно функции
xxy= ()(считаем искомой функцией x , ааргументом y). Представляем x в
виде
xUyVy= ()()и подставляем в (5.3):
()
VU V V y U y
′
+
′
+=+/ln.12
Функции U и V находим из системы
′
+=
′
=+V
V
y
VU y012,ln.
Из первого
уравнения имеем:
dV
V
dy
y
VyCVCy=− =− + =
∗∗
,ln ln ln , /; второе
уравнение системы при
C
∗
= 1 дает: yU y
−
′
=+
1
12ln. Отсюда
()
UyyydyyyC=+ = +
∫
2
2
ln ln . Тогда общее решение имеет вид
xyy
C
y=+
l
n/. Подставляя в это выражение значения xy==01,,находим
C = 0. Задача Коши имеет решение: xyy= ln .
Признак.
Уравнение Бернулли имеет вид
′
+=yPxyQxy() ()
α
,
где
α
-вещественное число,
αα
≠≠01, .
Метод решения:
Замена zx y()=
−1
α
, переводящая уравнение Бернулли в
линейное уравнение
()
′
+− =−zPxzQx( ) () ()11
α
α
.
Задача № 6.
Найти решение задачи Коши:
′
−= =yyxy xycos cos , ( )
2
01.
Решение.
Сделаем замену zx yx() /
(
)
= 1 . Получаем:
−
′
−=
′
=− −
z
z
z
x
z
xz z x x
22
11
cos cos , cos cos
. Последнее уравнение - линейное.
Его общее решение
zCeC
x
=− +
−
1
sin
, - произвольная постоянная. Тогда общее
решение исходного уравнения
()
()
yC x=− + −
−
1
1
exp sin .
Удовлетворяя начальному условию, получим
C = 2. Решение задачи Коши
имеет вид
()
()
yx=− + −
−
12
1
exp sin .

Страницы