Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

1
2
6. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
Признак.
Уравнение в полных дифференциалах имеет вид
Mxydx Nxydy(,) (,)+=0, где функции Mxy
(
,
) и Nxy
(
,
)
удовлетворяют
условию
∂
∂
∂
∂
Mxy
y
Nxy
x
(,) (,)
=
(6.1)
Метод решения.
Соотношение (6.1) равносильно существованию функции
FFxy=
(
,), удовлетворяющей условиям:
∂
∂
∂
∂
Fxy
x
Mxy
Fxy
y
Nxy
(,)
(,),
(,)
(,)==
(6.2)
Следует найти функцию
Fxy
(
,
)
. Интегрированием из первого условия (6.2)
получим
Fxy Mxydx y(,) (,) ()=+
∫
ϕ
, (6.3)
где
ϕ
()y -пока произвольная функция. Подставляя Fxy(,)из (6.3) во второе
уравнение (6.2), имеем
∂
∂
ϕ
y
Mxydx y Nxy( (,) ) () (,)+
′
=
∫
, откуда находим
′
ϕ
()y
, а затем и
ϕ
()y (при этом постоянную интегрирования в выражении для
ϕ
(
)y
можно задать произвольным конкретным числом). Общий интеграл исходного
уравнения имеет вид
Fxy C
(
,)= , где C - произвольная постоянная.
Задача № 7.
Найти общий интеграл уравнения:
sin sin cos cosyy x
x
dx x y x
y
dy++
+−+
=
11
0.
Решение.
Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных
дифференциалах:
Myyx
x
=+ +sin sin
1
,
Nx y x
y
M
y
yx
N
x
yx=−+ =+ =+cos cos , cos sin , cos sin
1
∂
∂
∂
∂
.
Итак,
∂
∂
∂
∂
M
y
N
x
=
- верно. Тогда имеем:
∂
∂
F
x
yy x
x
=+ +sin sin
1
,
Fyyx
x
dx y x y y x x y=++
+= − ++
∫
sin sin ( ) sin cos ln ( )
1
ϕϕ
.
Далее, подставляя
F в уравнение
∂
∂
F
y
xy x
y
=−+cos cos
1
,
находим
ϕ
(
)y : xy x yxy x
y
cos cos ( ) cos cos−+
′
=−+
ϕ
1
,
′
==+
ϕϕ
() , () ln ln
$
y
y
yyC
1
.

Страницы