Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

1
0
где Px Qx(), ()- заданные функции, непрерывные на интервале (,)a
b
.
Метод решения.
Следует искать решение уравнения в виде произведения
двух функций: yx
U
xV x(
)
(
)
(
)= . Подставляя y в (5.1), получим
()
VU PV V U Q
′
++
′
= . Функцию
V
определяют из условия PV V+
′
= 0 (тогда
()
VC Pxdx=−
∗
∫
exp ( ) , где постоянную интегрирования C
∗
можно без
ограничения общности выбрать равной единице), затем находят
U
из
уравнения
VU Q
′
= (тогда
()
UQVdxCC=+
∫
/,-произвольная постоянная
интегрирования). Общее р ешение уравнения (5.1) имеет вид
() ()
[]
yPxdxCQxPxdxdx=− +
∫∫∫
exp ( ) ( ) exp ( ) .
Замечание.
Решение можно получить также методом вариации
произвольной постоянной, который для линейного уравнения первого порядка
эквивалентен указанно му выше методу: сначала находят общее решение
однородного уравнения
()
′
+==−
∗
∫
VPxV VC Pxdx() , exp ()0 , а затем, считая
произвольную постоянную C
∗
функцией, зависящей от x , общее решение
полного (неоднородного ) уравнения отыскивают в виде
()
yCx Pdx=−
∗
∫
()exp .
Подставляя yx(
)
в (5.1), получим уравнение для Cx
∗
():
()
′
−=
∗
∫
Cx Pxdx Q()exp () .
Задача № 4.
Найти решение задачи Коши
()
′
−= + =yx x y x x x yeln ln / , ( )21 0
22 2
.
Решение.
Будем искать общее решение уравнения в виде yUx
V
x= (
)
(
),
тогда
′
=
′
+
′
yUVUV
. Подставляя выражения для y и
′
y
в уравнение, получим
()
()
xxVU xV xVU x x xln ln ln /
′
+
′
−= +21
22 2
(5.2)
Функцию
V находим из условия xV x V
′
−=ln
0
. Тогда имеем
dV
V
dx
xx
VxCVCx==+=
∗∗
ln
,ln lnln ln , ln
.
Выбирая любое частное решение, например ,
()
VxC==
∗
ln 1 и, подставляя его в
(5.2), получим уравнение для
Ux
(
):
()
xxU x x xln ln /
2222
21
′
=+.
Откуда находим
() ()
′
=+ =++Ux xU xC21 1
22
/,ln . Следовательно, общее
решение уравнения имеет вид
()
[]
yxCx=++ln ln1
2
. Для отыскания частного
решения, удовлетворяющего условию
y
e
(
)
=
0
, положим xe y==,0.
Получим:
()
01
2
=++ln eC, откуда
()
Ce=− +ln 1
2
.
Таким образом, решение задачи Коши имеет вид
y
x
e
x=
+
+
ln ln
1
1
2
2
.
Задача № 5.
Решить задачу Коши

Страницы