Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8
4. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Признак.
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет
вид
′
=
yf
y
x
или Pxydx
Q
xydy(
,
)(,
)
+=
0
, где Pxy
(
,
) и Qxy
(
,)- однородные
функции от
x и y одного порядка. Последнее означает, что для любых x , y,
α
P x y Pxy Q x y Qxy
nn
(,) (,),(,) (,)
αα α αα α
==, где n - некоторое число.
Метод решения.
Подстановка yxuxy uxu=
′
=
′
+(), , где ux()- новая
функция переменной
x . Подстановка приводит однородное уравнение к
уравнению с разделяющимися переменными xu f u u
′
=−
() или
xu u P u Q u
′
=− −
(, )/ (, )11.
Замечание.
Уравнение вида
dy
dx
f
ax by c
ax by c
=
++
++
111
приводится к
однородному
dy
dx
f
ax by
ax by
1
1
11
11 11
=
+
+
, то есть
dy
dx
f
aby x
abyx
1
1
11
1111
=
+
+
/
/
с помощью
замены
xx h yy k=+ =+
11
, , если ab a b
11
0−≠. Постоянные hk,
определяются из системы уравнений ah bk c a h b k c++= + +=00
111
, . Если же
ab a b
11
0−=(то есть
a
a
b
b
11
==
λ
), то его можно привести к виду
dy
dx
f
ax by c
ax by c
=
++
++
λ
()
1
.
Последнее уравнение с помощью введения новой функции
z x ax by x() ()=+ приводится к уравнению с разделяющимися переменными
′
=+
+
+
zabf
zc
zc
λ
1
.
Задача №2.
Найти общий интеграл уравнения xy y x
y
x
′
=+cos
2
.
Решение.
Разделим обе части уравнения на x :
′
=+yyx yx/cos(/)
2
.
Правая часть уравнения зависит от
yx
/
, поэтому уравнение является
однородным. Сделаем замену
y xux y xu x ux=
′
=
′
+(), () (). Получим
′
+=+ux u u u
c
os
2
или:
′
=ux
u
c
os
2
. Разделим переменные: du
u
dx x/cos
/
2
= ;
интегрированием находим
tgu x C=+ln , где
C
- произвольная постоянная
интегрирования. Общий интеграл исходного уравнения:
tg y x x C(/) ln=+. В
процессе решения мы делили на
c
os
2
u
, что могло привести к потере решения.

Страницы