Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

6
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА -
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Задачей Коши
для д.у. n -го порядка называется задача: найти
решение д.у.:
yFxyyy
nn() ( )
(,, ,..., )=
′
−1
, (2.1)
удовлетворяющее начальным условиям:
yxyyxyyxy y xy
n
n
( ) , ( ) , ( ) ,..., ( )
()
00 01 02
1
01
=
′
=
′′
==
−
−
(2.2)
ТЕОРЕМА 2.1. Пусть в уравнении (2.1) функция
Fxyy y
n
( , , ,... )
()
′
−1
:1)
непрерывна по всем своим аргументам в некоторой области
D их изменения,2)
имеет ограниченные частные производные 1-го порядка в области
D . Тогда
найдется интервал
(;)xhxh
00
−+, на котором существует единственное
решение д.у.(2.1), удовлетворяющее начальным условиям (2.2).
Для уравнения 2-го порядка
′′
=
′
yFxyy(,, )
условия (2.2) имеют
вид:
yx y y x y() ,()
00 01
=
′
= , где xyy
001
,,- заданные числа.
Общим решением
д.у. (2.1) называется множество всех его решений,
определяемое формулой yxCCC
n
=
ϕ
(,,,...,)
12
, содержащей n произвольных
постоянных, таких , что если даны условия (2.2), то найдутся такие значения
~
,...,
~
CC
n1
, что yxCC
n
=
ϕ
(,
~
,...,
~
)
1
будет являться решением д.у. (2.1),
удовлетворяющим этим начальным условиям. Любое решение, полученное из
общего решения при каких-либо конкретных значениях
CC
n1
,..., , называется
частным решением
.
ПРИМЕР 2.1. Показать, что функция
yC Ce
x
=+
−
12
является общим
решением уравнения
′′
+
′
=yy0
.
Решение.
Находим производные:
′
=−
′′
==−
′
−−
yCe yCe y
xx
22
, , т.е. y
обращает д.у.
′′
+
′
=yy0
в тождество по x при любых значениях C
1
и C
2
.
Далее, пусть даны произвольно начальные условия
yx y y x y() , ()
00 01
=
′
= .
Покажем, что постоянные
C
1
и C
2
можно подобрать так, что yC Ce
x
=+
−
12
будет удовлетворять этим условиям. Имеем: yC Ce
x
=+
−
12
,
′
=−
−
yCe
x
2
.
Полагая
xx=
0
получаем систему CCe y
x
12 0
0
+=
−
, −=
−
Ce y
x
21
0
, из которой
однозначно определяются
Cye
x
21
0
=− и Cyy
101
=+. Таким образом, решение
yy y ye
xx
=+−
−
011
0
удовлетворяет поставленным начальным условиям.

Страницы