Дифференциальные уравнения. Вельмисов П.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

1
3
Тогда Fxy x y y x xyC(,) sin cos ln
$
=−+. Общий интеграл исходного уравнения
имеет вид (положили
$
C
=
1
): xyyx xyCsin cos ln−+=, где C - произвольная
постоянная.
7. МЕТОД ИЗОКЛИН
Метод изоклин используется для исследования дифференциальных
уравнений первого порядка
′
=
yfxy(,).
Изоклиной д.у. называется геометрическое место точек, в которых
выполняется условие
dy
dx
const
= , т.е. f x y const(,)= . Метод позволяет
построить качественную картину интегральных кривых и провести анализ
некоторых свойств решения дифференциального уравнения
′
=
yfxy(,) по
виду правой части
fxy
(
,)без отыскания общего решения этого уравнения.
Если вдоль изоклины
fxy y(,) ( )>
′
>00, то функция yx
(
) , являющаяся
решением д.у., в точках этой изоклины возрастает; если
fxy y(,) ( )<
′
<00-
убывает. Если в точках плоскости
′
+⋅
′
>
′′
>
fff y
xy
00(), то интегральные
кривые выпуклы вниз, если
′
+⋅
′
<
′′
<
fff y
xy
00(), то кривые выпуклы вверх.
Задача № 8.
Для данного уравнения методом изоклин построить
интегральную кривую, проходящую через точку
M :
′
=− −
yxyM2
1
4
1
2
2
,;.
Решение.
Для получения уравнения изоклин положим
′
=
yK, Kconst= ,
тогда
2
2
xyK−= или yxK=−2
2
. Таким образом, изоклинами являются
параболы. При K = 0 получим и зоклину yx= 2
2
. Эта кривая делит плоскость
xOy на две области, в каждой из которых
′
y имеет свой знак (один и тот же
для каждой точки области). Интегральные кривые, пересекая левую ветвь
изоклины
yx= 2
2
, переходят из области возрастания функции yx()в область
ее убывания; пересекая правую ветвь, они переходят из области убывания в
область возрастания. Значит, на кривой
yx= 2
2
находятся точки экстремумов
решений
yx()дифференциального уравнения (касательные к интегральным
кривым в точках этой параболы горизонтальны).
Рассмотрим еще одну изоклину:
yx K=+=−21 1
2
(). Касательные,
проведенные к интегральным кривым в точках перечесения с этой изоклиной,
образуют с осью
O
x угол
ϕ
в
1
35
0
(т.к. Ky tg=
′
=
ϕ
, где
ϕ
- угол наклона
касательной к оси
Ox ). При K = 1 имеем изоклину yx=−21
2
. Касательные,

Страницы