Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

4
ВВЕДЕНИЕ
Методическое указание предназначены для студентов высших техниче-
ских учебных заведений, и являются руководством для выполнения типового
расчета "Уравнения математической физики", предлагаемого в сборнике [5].
Приведены образцы решения №№2, 3, 4, 9, 10, 12, при этом номера задач в
данном методическом пособии соответствуют номерам задач в сборнике [5].
Задачи №2 и№3 решены методом характеристик, задачи №№4, 9, 10, 12 - ме-
тодом Фурье.
1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-
го ПОРЯДКА И ПРИВЕДЕНИЕ ИХ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Указания к задачам №2, №3
Линейное уравнение с частными производными 2-го порядка для функций
двух переменных
)
,( yx
u
u = имеет вид:
02
21221211
=++++++ fcuububuauaua
yxyyxyxx
(1.1)
где
fcbbaaa ,,,,,,
21221211
- функции переменных x и y , при этом среди коэф-
фициентов
fcbbaaa ,,,,,,
21221211
есть отличные от нуля.
В уравнении (1.1) от переменных
yx
,
перейдем к новым переменным
η
ξ
,
по формулам ),(
)
,,( yxyx
ψ
η
ϕ
ξ
== Пусть функции
)
,(),,( yxyx
ψ
ϕ
дважды
дифференцируемы в о бласти
D плоскости xOy и якобиан перехода отличен от
нуля:
0),( ≠=
yx
yx
yxJ
ηη
ξξ
в любой точке области. Тогда имеют место сле-
дующие формулы:
,2
,)(
,2
,,
22
22
yyyyyyyyxy
xyxyyxxyyxyxxy
xxxxxxxxxx
yyyxxx
uuuuuu
uuuuuu
uuuuuu
uuuuuu
ηξηηξξ
ηξηηηξηξξξ
ηξηηξξ
η
ξ
η
ξ
ηξηηξηξξ
ηξηηξηξξ
ηξηηηξξ
ηξηξ
⋅+⋅+++⋅=
⋅+⋅++++⋅⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅=⋅+⋅=
(1.2)
Подставляя значения производных из (1.2) в уравнение (1.1), будем иметь урав-
нение:

Страницы