Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

5
,02
221211
=+++ Fuauaua
ηηξηξξ
(1.3)
где
,2
2
2212
2
1111 yyxx
aaaa
ξξξξ
++= (1.4)
,)(
22121112 yyxyyxxx
aaaa
ηξηξηξηξ
+++= (1.5)
,2
2
2212
2
22 yyxx
aaaa
ηηηη
η
++= (1.6)
при этом через
F обозначено выражение, не зависящее от вторых производ-
ных функций
u.
ТЕОРЕМА. Если функция
),( yxz
ϕ
= является решением уравнения
02
2
2211
2
11
=++
yyxx
zazzaza , (1.7)
то соотношение
C
yx =)
,
(
ϕ
(C - производная константа) является общим инте-
гралом обыкновенного дифференциального уравнения:
02)(
2212
2
11
=+
′
−
′
ayaya (1.8)
(здесь
dxdyyxyy /),( =
′
= ). Обратно, если Cyx =)
,
(
ϕ
есть общий интеграл
уравнения (1.8), то функция
)
,
( yxz
ϕ
= является решением уравнения (1.7).
Уравнение (1.8) называется характеристическим
для уравнения (1.1), а
кривые, определяемые соотношением
C
yx =),(
ϕ
- характеристиками.
Уравнение (1.8) распадается на два уравнения ( a
11
0≠ ).
11
2211
2
1212
a
aaaa
dx
dy
y
−±
==
′
(1.9)
Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения (1.1). Уравнение (1.1)
называется уравнением гиперболического типа
в области D , если в любой точ-
ке выполняется неравенство
0
2211
2
12
>− aaa . Вэтомслучаечерезкаждуюточ-
ку области
D проходят 2 различные характеристики. Уравнение (1.1) называ-
ется уравнением эллиптического типа
в о бласти D , если в области
выполняется неравенство
0
2211
2
12
<− aaa . Вэтомслучаеимеются2 различные
комплексные характеристики. Уравнение (1.1) называется уравнением
параболического типа в области D , если 0
2211
2
12
=− aaa . Тогда имеется только
одна действительная характеристика.
Линейное уравнение в частных производных 2 порядка называется задан-
ным в канонической форме,
если оно имеет вид:
Фu
xy
= (гиперболического типа) (1.10)
Фuu
yyxч
=+ (эллиптического типа) (1.11)
Фu
yy
= (параболического типа) (1.12)

Страницы