Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

7
Для решения уравнения запишем его в виде:
∂
∂ξ∂η
2
0
u
= или
∂
∂ξ
∂
∂η
u
= 0
.
Отсюда
∂
∂η
η
u
h= ()
, где h()
η
- произвольная функция, зависящая только от
η
.
Интегрируя по переменной
η
, находим: uu h d== =
∫
(, ) ()
ξ
η
η
η
=+fg() ()
η
ξ
где
′
=fh() ()
η
η
, а g функция зависит только от
ξ
. Итак, общее р ешение урав-
нения (1.13) есть:
ux y f y x gy x(, ) ( , ) ( )=+ +−05 3 , где f и g - произвольные
дважды дифференцируемые функции.
2. Пусть в области
Da a a:
12
2
11 22
0−⋅ =, т.е. уравнение (1.1) относится к па-
раболическому типу. Характеристическое уравнение только одно:
′
=y
a
a
12
11
.
Пусть
Cyx =),(
ϕ
- его общий интеграл. Положим
ξϕ
= (,)xy
, а в качестве
η
ψ
= (
)xy возьмем произвольную функцию, такую, что
Jxy
xy yx
(, )=⋅−⋅≠
ξ
η
ξ
η
0. Тогда уравнение (1.1) примет вид: u Ф
ηη
= .
ЗАДАЧА № 2.31. Найти общее решение уравнения
49 14 14 2 0uuuuu
xx xy yy x y
−++−=. (1.14)
РЕШЕНИЕ. Здесь
aaabbcf
11 12 22 1 2
49 7 1 14 2 0==−===−==,,,,, ,
aaa
12
2
11 22
0−⋅=. Уравнение параболического типа. Характеристическое урав-
нение есть:
49 14 1 0
2
()
′
+
′
+=yy
. Т.к. дискриминант этого уравнения равен
0
,
то
′
==−++=yy
x
Cy
x
C
1
77 7
,,
-только одна группа характеристик. Полагаем
ξ
=+y
x
7
. Функцию
η
выбираем произвольно:
η
= x
(проверяя, однако, усло-
вие:
Jxy
xy yx
(,)=−=−⋅=−≠
ξη ξη
1
7
011 1 0
). Находим частные производные:
ξξξ ξξ
xyxxyyxy
=====
1
7
1000,, , , ,
η
η
xy
==10, ,
η
η
xy yy
==00, и подстав-
ляем их формулы (1.2):
uuuuuuuuuuuuuu
xx xy yy x y
=++ =+ = =+=
1
49
2
7
1
7
1
7
ξξ ξη ηη ξξ ξη ξξ ξ η ξ
,,,,.
Подставляя
uuu u u
x y xx xy yy
,, , , в уравнение (1.14), получаем:
49
1
49
2
7
14
1
7
14
1
7
20uuu uuu uuu
ξξ ξη ηη ξξ ξη ξξ ξ η ξ
++
−+
++ +
−=.
Раскрывая скобки и приводя слагаемые, приходим к уравнению в канониче-
ской форме:
49 14 0uu
ηη η
+=или 720uu
ηη η
+=. При всяком фиксированном
ξ
это линейное о днородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициента-
ми; его характеристическое уравнение есть
72
0
2
rr+=или rr
12
0
2
7
==−, ; по-

Страницы