ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8
этому общее решение имеет вид
uu C C e=+
−
(, ) () ()
/
ξη ξ ξ
η
12
27
, где C
1
()
ξ
и
C
2
()
ξ
- произвольные функции переменной
ξ
. Возвращаясь к прежним пере-
менным, имеем:
uxyC y
x
Cy
x
e
x
(,)
/
12
27
77
+
++
−
, где CC
12
- произвольные дважды диф-
ферецируемые функции.
3. Пусть в области
Da a a:
12
2
11 22
0−⋅<уравнение (1.1) относится к эллип-
тическому типу, характеристическое уравнение распадается на 2 различных
комплексных уравнения. Рассмотрим только одно из этих уравнений, пусть
ϕ
(,
)
xy C= -его общий интеграл. Положим
ξ
ϕ
= Re ( , ),xy
η
ψ
= Jm x y(,)(т.е
ξ
есть действительная часть, а
η
есть мнимая часть функции
ϕ
(,)xy). Тогда
уравнение (1.1) примет вид
uu
ξξ ηη
+=Φ.
ПРИМЕР 1.1 Привести уравнение к каноническому виду:
uuu
xx xy yy
−+=220. (1.15)
РЕШЕНИЕ. Характеристическое уравнение есть:
()
′
+
′
+=yy
2
220. Обо-
значив
ty=
′
, получим квадратное уравнение
t
t
2
2
2
0++=; его решения
ti
12
111=− ± − =− ± -комплексные числа, Тогда
′
=− ±yi
1 . Рассмотрим толь-
ко одно уравнение:
′
=− +yi
1 . Его общее решение: yix
C
=−+ +()1 или
yx
i
x
C
+− =. Здесь
ϕ
(
,)xy y x ix=+− . Обозначим:
ξ
ϕ
==+Re ( , )xy y x,
η
ϕ
==−Jm x y x(,) . Находим производные:
ξ
ξ
η
η
xy x y
== =− =110,,все вто-
рые производные равны нулю.
Получаем по формулам (1.2):
uu uuuuuuu
xx xy yy
=− + =− =
ξξ ξη ηη ξξ ξη ξξ
2, ,. Подставляем в (1.15):
()()
uuu uu u
ξξ ξη ηη ξξ ξη ξξ
−+− −+22 2или uu
ξξ ηη
+=0.
2. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ
Указания к задаче №4
ЗАДАЧА № 4.31. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге:
∆uru
r
=≤< =−+
=
00 3 2
3
2
,,
ϕπϕ
.
РЕШЕНИЕ. Функция
u
ur=
(
,)
ϕ
зависит от двух переменных
r
,
ϕ
причем
r,
ϕ
есть полярные координаты точки на плоскости. Оператор Лапласа ∆
u
в
полярных координатах имеет вид: ∆uu
r
u
r
u
rr r
=+ +
11
2
ϕϕ
Поэтому исходное
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
