Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

9
уравнение есть:
ru ru u
rr r
2
+⋅ +
ϕϕ
(2.1)
По условию задачи
r ∈[;)
0
3 , функция u является периодической по
ϕ
спе-
риодом
T = 2
π
. Кроме того, дано граничное условие при:
ru==−+ ≤≤3202
2
ϕπϕ ϕπ
() (2.2)
Согласно методу Фурье решение уравнения (2.1) будем искать в виде
произведения двух функций:
u
u
rRr==⋅(,
)
() (
)
ϕ
ϕ
Φ , причем функция R зави-
сит только от переменного
r, а функция Φ зависит то лько от
ϕ
. Вэтомслучае
uRr u Rr u Rr
rrr
=
′
⋅=
′′
⋅=⋅
′′
() ( ), () ( ), () ( )ΦΦΦ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
, уравнение (2.1) принима-
ет вид:
rR r rR r Rr
2
0
′′
+
′
+
′′
=
() ( ) () ( ) () ( )ΦΦΦ
ϕϕϕ
.
Разделим переменные в этом соотношении:
()
ΦΦ
Φ
Φ
( ) () () () ( ) ,
()
()
() ()
()
.
ϕϕ
ϕ
ϕ
rR r rR r Rr
rR r rR r
Rr
2
2
0
′′
+
′
+
′′
=
−
′′
=
′′
+
′
(2.3)
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных перемен-
ных (левая часть (2.3)зависит только от
ϕ
, а правая часть - только от r ). Зна-
чит, каждая из этих функций есть константа:
′′
=
′′
+
′
==
Ф
Ф
rR r rRr
Rr
const
()
()
() ()
()
.
ϕ
ϕ
λ
2
(2.4)
Соотношение (2.4) равносильно системе уравнений:
′′
+=Фф Фф() ()
λ
0, (2.5)
rR r rR r Rr
2
0
′′
+
′
−=() () ()
λ
. (2.6)
Уравнение (2.5) относительно функции
Ф
(
)
ϕ
есть обыкновенное линейное
дифференциальное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффи-
циентами. Значит, его общее решение имеет вид: а) если
λ
= 0, то
Фф С С()=+
12
ϕ
; в) если
λ
< 0, , то ФСeCe()
ϕ
λϕ λϕ
=+
−−−
1
2
; с) если
λ
> 0, ,то
Фф CC() cos sin=+
12
λϕ λϕ
( CC
12
, -константы). По условию задачи
ϕ
есть по-
лярный угол точки, поэтому функция
Ф
(
)
ϕ
периодическая с периодом
π
. Это
условие выполняется лишь в случае, когда
Ф
С
сonst
(
),
ϕ
== , икогда
λλ
>=0, n
- натуральное число. В итоге решение уравнения (2.5) может быть записано в
виде:
ФФ AnBn
т nn
() () cos sin
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
== + , где nA
n
= 012, , ,..., и B
n
- произвольные
постоянные.
Уравнение (2.6) есть линейное однородное уравнение 2 порядка. Это урав-
нение Эйлера. Его решают с помощью подстановки
τ
= Jnr :
′
==⋅=⋅ =
=⋅
=
=
⋅+ ⋅ ⋅
=⋅−⋅
Rr
dR
dr
dR
d
d
dr
dR
dr
dR
dr
d
dr
dR
dr
d
dr
dR
dr
d
dr
dR
dr
dR
d
d
dr r
dR
dr
dR
d
r
() ;
.
τ
τ
ττ
ττ
τ
τ
11
1111
2
2
2
22 2

Страницы