Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11
Здесь мы воспользовались таблицей интегралов из приложения и соотноше-
ниями:
sin , cos , sin
,
c
os== = =00
1
202
1
π
π
n
n
(
n
- натуральное число). Таким
образом,
AA
n
B
n
n
n0
2
2
2
3
4
3
0==− =
π
,,. Подставим эти значения в (2.8), полу-
чим в итоге:
ur
n
n
r
n
n
n
(, )
cos
,
ϕπ
ϕ
=− ⋅
∑
=
∞
2
3
4
3
2
2
1
где 0
3
≤≤ −∞< <+∞r
,
.
ϕ
3.ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
НА ОТРЕЗКЕ
Указания к задаче № 9
ЗАДАЧА №9.31. Решить первую смешанную задачу для волнового урав-
нения на отрезке:
uux t
tt xx
=<<<<+∞
9
4
010,, , (3.1)
ux xx u x
t
(,) ( ), (,) ,0100=− = (3.2)
u
t
ut
,)
,
,
.0010== (3.3)
РЕШЕНИЕ. Согласно методу Фурье решение уравнений (3.1) ищем в ви-
де:
uux
t
Xx
T
t
==⋅(,) () ()
.Тогда
u XxTtu XxTtu XxTtu XxTt
ttt xxx
=⋅
′
=⋅
′′
=
′
⋅=
′′
⋅() (), () (), () (), () (). После
подстановки в уравнение имеем:
XxT t X xTt() () () ()
′′
=
′′
9
4
, или, если разделить
переменные:
′′
=
′′
=− =
Xx
Xx
Tt
Tt
Const
()
()
()
() /
.
94
λ
(3.4)
Получаем два уравнения:
′′
+=Xx Xx() () ,
λ
0 (3.5)
′′
+=Tt Tt() ()
9
4
0
λ
. (3.6)
Граничные условия (3.3) дают:
XT
t
XTt() () ,
)( )0010==, значит
XX() ()010==
.Таким образом, требуется найти ненулевые р ешения уравне-
ния (3.5), удовлетворяющие условиям
XX
)()0
1
0
==
. Уравнение (3.5) есть
линейное однородное уравнение; его характеристическое уравнение:
k
2
0
+=
λ
, поэтому различают 3 случая:
а) Пусть
λ
= 0. Тогда kkk
2
12
00===, ; общее решение уравнения (3.5) имеет
вид:
Xx A Bx()=+ где AB const
,
= . Условия XX
,()00
1
0==дают:

Страницы