Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

12
AAB=+=00, , откуда AB==0, значит, Xx
(
)
=
0
. Это тривиальное реше-
ние.
в) Пусть
λ
< 0. Тогда k
12.
=± −
λ
- два различных действительных корня;
Xx Ce
x
()=
−−
1
λ
. Из условий XX() ,
(
)
0
01
0
==следует, что CC
12
0+=и
Ce Ce
12
0
−−−
+=
λλ
. Решая полученную систему уравнений, находим
CC Xx
12
00== =,() - опять тривиальное решение.
с) Пусть
λ
= 0. Тогда ki
12.
=±
λ
- комплексные корни,
Xx C x C x() cos sin=+
12
λλ
где CC
12
, - произвольные постоянные. Из усло-
вия
Xx()=
0
следует, что 0
1
= C и Xx C x() sin=
2
λ
. Из условия X
(
)
1
0= по-
лучаем:
0
2
= C sin
λ
, отсюда sin , ,
λλπλπ
== =0
22
nn, где
n
-
произвольное натуральное число. Значит,
Xx C nx() sin=
2
π
- это решение урав-
нение (3.5).
Уравнение (3.6) при
λπ
=
22
n
имеет характеристическое уравнение
k
2
9
4
+
π
22
0n = , значит kni
12
3
2
.
=±
π
, и Tt A
nt
B
nt
nn
() cos sin=+
3
2
3
2
π
π
, где
AB
nn
, - произвольные константы.
Таким образом, решение уравнения (3.1), удовлетворяющее граничным
условиям (3.3), имеет вид :
uxt A
nt
B
nt
nx
nn
n
(,) cos sin sin .=+
∑
=
∞
3
2
3
2
1
ππ
π
(3.7)
Находим производную:
uxt
n
A
nt n
B
nt
nx
tnn
n
( , ) sin cos sin=− +
=
∞
∑
3
2
3
2
3
2
3
2
1
πππ π
π
. (3.8)
Согласно второму из условий (3.2)
ux
t
(,)00= . Пологая в t = 0 получаем:
00
3
2
01
1
== ∈
=
∞
∑
ux
n
Bnxx
tn
n
(,) sin , ( [,])
π
π
отсюда Bn
n
==012, , ..... Согласно пер-
вому из условий (3.2)
ux xx x x(,) ( )01
2
=−=−. Полагая в (3.7) t = 0, приходим
к соотношению:
[]
()
xxux A nxx
n
n
2
1
001−= = ∈
=
∞
∑
(,) sin ;
π
(3.9)
Соотношение (3.9) представляет собой разложение в ряд Фурье по синусам
функции
xx
2
− на отрезке
[]
01; . Как известно, если
[]
fx A
nx
l
xl
n
n
() sin , ;=∈
=
∞
∑
π
0
1
, то fx
l
fx
nx
l
dx f x
l
() ()sin (()=
∫
2
0
π
- непрерывная
на
[]
01; функция). Вданномслучае
l
= 1, имеем:

Страницы