Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

14
()
VxyT t V xyTt V xyTt
xx yy
(,) () (,) () (,) ()
′′
=+49 ; Отсюда в результате разделения
переменных будем иметь:
′′
=
+
==
Tt
Tt
VxyVxy
Vxy
Const
xx yy
()
()
(,) (, )
(, )49
λ
(4.5)
Согласно (4.5) имеем два уравнения:
′′
−=Tt Tt() ()49 0
λ
, (4.6)
VxyVxy Vxy
xx yy
(,) (, ) (,)+−=
λ
0, (4.7)
Функцию
Vxy(, )будем искать в виде произведения:
V
xy XxYy
(
,
)
()()= ; под-
ставляя
Vxy(,
)
в (4.7), получаем уравнение:
′′
+
′′
−=X xYy XxY y XxYy() () () () () ()
λ
0, или, разделяя переменные:
′′
=
′′
−
==
Xx
Xx
Yy Yy
Yy
Const
()
()
() ()
()
λ
µ
(4.8)
Из (4.8) получаем два уравнения:
′′
−=Xx Xx() () ,
µ
0 (4.9)
′′
+− =Yy Yy() ( ) ()
µ
λ
0 (4.10)
Функция
u
xyt XxYy
T
t(,,) (
)
() ()= удовлетворяет нулевым граничным условиям
(4.3), поэтому функции
Xx()и Yy()также удовлетворяют нулевым граничным
условиям:
XX() (
)
0
7
0
== (4.11)
YY
(
)
(
)
0
2
0== (4.12)
Каждое из уравнений (4.6), (4.9), (4.10) является линейным однородным диф-
ференциальным уравнением 2-го порядка с п остоянными коэффициентами.
Уравнение (4.9) имеет характеристическое уравнение
k
2
0−=
µ
; его р ешение
зависит о т знака числа
µ
. Рассмотрим три случая: а)
µ
= 0. Тогда kk
12
0==,
значит, общее решение уравнения (4.9) есть
Xx Cx C()=+
12
,где CC
12
, - произ-
вольные константы. Однако условиям (4.11) удовлетворяет только решение
Xx(
)
= 0.
в)
0>
µ
. Тогда
µ
±=
2,1
k
x-
2
x
1
eCeCX(x)
µµ
+= . Легко убедиться в том,
что условиям (4,11) удовлетворяет только решение Х(х)=0(т.е.
0
21
== CC
с) 0<
µ
. Тогда
µ
−±= ik , xx
µµ
−+−= sinCcosCX(x)
21
. Условия (4.11)
дают: при
0x = 0X(0) = , значит,
1
0 C= ; при x=7 X(7)=0, значит,
µµ
−−= 7sin,7sin0
2
C =0, поэтому n
πµ
=−7 , где n – произвольное нату-
ральное число. Отсюда
7
sin)(,
7
2
2
nx
Cx
n
ππ
µ
=Χ
−= .
Решаем уравнение (4.10). Его характеристическое уравнение есть

Страницы