Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

15
0
2
=−+
λµ
k .
Следует рассмотреть три случая:
а)
0
=−
λ
µ
, в) 0- <
λ
µ
,с)
0
>−
λ
µ
. Легко убедиться в том, что уравнение
(4.10) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие, условиям (4.12), только
тогда, когда
λ
µ
− >0. Пусть
2
νλµ
=− >0. Тогда Y(y)= yDyD
ν
ν
sincos
21
+ ;
так как У(0)=0, то
0
1
=D ; так как У(2)=0, то 0=
2
D sinv2, sin2v=0, значит,
2v=
m
π
где m=1,2,3,.... Витоге ,
2
sin)(,
4
,
2
2
22
my
DyY
mm
ππ
λµ
π
ν
==−= где
2
D - произвольное число. Решаем уравнение (4.6). Ранее мы вычислили
22
2
,
7
=−
−=
mm
π
λµ
π
µ
, поэтому
22
27
−
−=
mn
ππ
λ
. Так как 0<
λ
,то -
49
λ
>0, решение уравнения (4.6) есть: ktBktAtT 7sin7cos)( += ,где
449
22
mn
k +=−=
πλ
.
В итоге решение уравнения (4.1) получили в виде двойного ряда Фурье:
()
2
sin
7
sin7sin7cost)y,u(x,
1n1
mxnx
ktBktA
m
nmnm
ππ
∑∑
∞
=
∞
=
+= . (4.13)
При этом мы положили
2
C =1,
2
D =1, т.к.
nm
AA = иВ=
nm
B -произвольные
числа. Функция
),,( tyxu , заданная соотношением (4.13), удовлетворяет уравне-
нию (4.1) и граничным условиям (4.3). Потребуем, чтобы
),,( tyxu удовлетворя-
ла начальным условиям (4.2). Находим производную
),,(u
t
tyx :
2
sin
7
sin)7cos77sin7(),,(
11
mynx
ktkBktkAtyxu
nm
nmnmt
ππ
∑∑
∞
=
∞
=
+−= . (4.14)
Подставляя в обе части (4.14) t=0 и используя второе из условий (4.2), получа-
ем:
,
2
sin
7
sin70
11
mynx
kB
nm
nm
ππ
∑∑
∞
=
∞
=
= откуда 0B
nm
= . Далее, начальное условие
2)-7)(y-xy(xy,0)u(x, = дает разложение в двойной ряд Фурье по синусам:
20,70,
2
sin
7
sin2)-7)(y-xy(x
1n1
≤≤≤≤=
∑∑
∞
=
∞
=
yx
mynx
A
m
nm
ππ
(4.15)
Используем следующее утверждение: если f(x,y)
τ
ππ
my
e
nx
A
nm
nm
sinsin
11
∑∑
∞
=
∞
=
=
для
τ
≤≤≤≤ yl,0x0 ,то

Страницы