Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

17
+−−=
∑∑
∞
=
∞
=
449
7cos
2
sin
7
sin)1)(cos1(cos
13136
),,(
22
11
336
mn
t
mynx
mn
mn
tyxu
nm
π
ππ
ππ
π
5. ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОТРЕЗКЕ
Указания к задаче №12
ЗАДАЧА №12.31. Найти решение первой смешанной задачи для, уравне-
ния теплопроводности на отрезке:
0,80,9 ><<= txuu
xxt
(5.1)
=
≤≤
≤<−
40,
4
.84,8
2
)0,(
x
x
xx
xu (5.2)
0
),8(
)
,
0
( ==
t
u
t
u (5.3)
РЕШЕНИЕ. Согласно методу Фурье ищем решение
)
,
(
tx
u
u
= задачи в
виде произведения функций: u(x,t)= X(x)T(f) . В результате подстановки u(x,t)
= X(x)T(t) в уравнение (5.1) и разделения переменных получаем:
.
)(9
)(
)(
)(
)()(9)()(
///
///
Const
tT
tT
xX
xX
tTxXtTxX ===⇔=
λ
Отсюда:
,0)()(
//
=− xXxX
λ
(5.4)
)(9)(
/
tTtT
λ
= (5.5)
Граничные, условия (5.3) для
)
(
)
( tTxXu = дают: Х(0)Т(t)=0 и X(8)T(t)=0, зна-
чит, Х(0)=Х(8)=0.
Требуется найти ненулевые решения уравнения (5.4), удовлетворяющие усло-
виям:
Х(0)=Х(8)=0 (5.6)
Уравнение (5.4) есть линейное уравнение 2-го порядка с постоянными
коэффициентами. Его характеристическое уравнение есть
0
2
=−
λκ
. Рассмот-
рим три случая: а) Пусть
0=
λ
, Тогда 0
2,1
=k и
21
)( CxCxX += . Условиям (5.6)
удовлетворяет только Х(x)=0 (т.е.
0
21
== CC ). в) Пусть
λ
>0. Тогда
λ
±=
2,1
k и
Х(х)=
xx
eCeC
λλ
−
+
21
. Условия (5.6) выполняются только при
21
CC = =О,

Страницы