Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

18
Х(x)=0. с). Пусть
λ
<0. Тогда
λ
−±= ik
2,1
и xCxCxX
λλ
−+−= sincos)(
21
.
Условия (5.6) дают:
8sin0,0)8(,0,0)0(
21
λ
−==== CXCX , ,
8
,8,08sin
2
−==−=−
n
n
π
λπλλ
где n - произвольное натуральное число. Мы получили решение:
8
sin)(
2
nx
CxX
π
= (C
2
- произвольное число).
Уравнение (5.5) есть уравнение с р азделяющимися переменными. Решаем
его:
,9
)(
)(
),(9
)(
),(9)(' dt
tT
tdT
tT
dt
tdT
tTtT
λλλ
===
∫∫
= ,9
)(
)(
dt
tT
tdT
λ
,)(,ln9)(ln
9 t
CetTCttT
λ
λ
=+=
где С - произвольная постоянная.
Получили
8
sin),(
9
nx
Cetxu
t
π
λ
= , где
2
8
−=
n
π
λ
. Данная функция является реше-
нием уравнения (5.1) и удовлетворяет условиям (5.3) при любом значении по-
стоянной С. Однако условию (5.2) она не удовлетворяет. В силу линейности
уравнения (5.1) его решение будем искать в виде суммы ряда:
,
8
sin),(
9
1
nx
eCtxu
t
n
n
n
π
λ
∑
∞
=
= (5.7)
где х
∋ [0;8], t
[
)
2
8
,;0
−=+∞∋
n
n
π
λ
.
Согласно условию (5.2) при t =0в соотношении (5.7) будем иметь:
==
∑
∞
=
8
sin)0,(
1
nx
Cxu
n
n
π
≤<−
≤≤
84,8
,40,
4
2
xx
x
x
(5.8)
Равенство (5.8) представляет собой разложение в ряд Фурье по синусам на от-
резке [0;8] функции.
)0,(xu . Поэтому коэффициенты С
n
вычисляется по фор-
мулам:
=−+==
∫∫∫
dx
nx
xdx
nxx
dx
nx
xuC
n
8
sin)8(
4
1
8
sin
44
1
8
sin)0,(
2
8
4
4
0
2
0
πππ
l
l

Страницы