Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

13
()
A x x nxdx x nxdx x nxdx
x
n
nx
x
n
nx
n
nx
x
n
nx
n
nx
x
n
nx
n
n
n
n
n
n
n
=− = − =
=− + +
−
−− +
=− + −
+
+= −
∫∫∫
222
2
22
2
1
2
2
1
24
1
22
0
1
0
1
0
1
2
22 33
0
1
22
0
1
33
44
sin sin sin
cos sin cos
cos sin cos (cos )
cos (cos )
πππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
При вычисление A
n
мы воспользовались формулами из приложения и соотно-
шениями:
sin , cos , sin00 01
0
== =
π
n
. Подставляя полученные значения A
n
и
B
n
в (3.7), находим решение задачи:
uxt
n
n
nt
nx
n
(,)
(cos )
cos sin=
−
=
∞
∑
413
2
33
1
π
π
π
π
, где 010≤≤ ≤<+∞x
t
,
.
4. ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В
ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
Указания к задаче № 10
ЗАДАЧА №10.31. Решить первую смешанную задачу для волнового урав-
нения в прямоугольнике:
uu
tt
= 49∆ (4.1)
uxyxyu
t
t
t==
=−− =
00
72 0()(), ,
(4.2)
uuuu
xyxy====
====
0072
0, (4.3)
РЕШЕНИЕ. Функция
u
u
xy
t
=
(
,
,
)
зависит от трех переменных: координат
точки
xy,
ивремениt , при этом
[] [] [
xyt∈∈∈+∞07 02 0;, ;, ; ). Условия (4.2) на-
зываются начальными условиями, аусловия(4.3)-граничными. В уравнении
(4.1) через
∆u обозначен оператор Лапласа:∆uu u
xx yy
=+, поэтому уравнение
(4.1) имеет вид:
uuu
tt xx yy
=+49( ) (4.4)
Согласно методу Фурье решение уравнения ищем в виде произведения двух
функций:
ux yt V x y
T
t(,,) (, ) ()= , где V зависит только от x и
y
, а функция T
зависит только от
t
. Подставляя uVxyTt= (,)()в уравнение (4.4), получаем:

Страницы