Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10
Подставляя в уравнение (2.6) и приводя подобные, получаем линейное од -
нородное уравнение с постоянными коэффициентами:
′′
−=RR() ()
τ
λ
τ
0 (2.7)
При
λ
= 0 получаем: RABABLnr()
τ
τ
=+ =+⋅
0
0
00
, где AB
00
, - произвольные кон-
станты. Так как при
r стремящимся к нулю Lnr →−∞, а расчетная область
включает точку
r = 0, то следует положить B
0
0= . Далее, при
λτ
ττ
=≠ = + = +
−
nRCCCC
n
n
nn
e
n
e
n
r
n
r
n
2
1
2
12
0() (где CC
n
n
12
, -произвольные кон-
станты). Второе слагаемое здесь следует отбросить опять же в силу о граничен-
ности решения при
r
= 0. Вывод: ограниченные в круге решения есть
R r A Const()==
0
или
Rr C
n
r
n
()=
1
. Итак, существуют решения
uAu A n B nr
nn
n
== +
0
,(cos sin)
ϕϕ
(выбрали C
n
1
1= ), функция u
u
r= (, )
ϕ
таким об-
разом, в силу линейности уравнения (2.1), может быть задана в виде:
ur A A n B n r
nn
n
n
(, ) ( cos sin ) ,
ϕϕϕ
=+ +
=
∞
∑
0
1
(2.8)
где
AAB
nn
0
,, - произвольные постоянные.
Для нахождения коэффициентов воспользуемся граничным условием
(2.2): подставим
r = 3 в обе части (2.8), получим разложение функции
[]
(),;−+ ∈
ϕπϕϕ π
2
202
, врядФурье:
−+ =+ +
=
∞
∑
ϕπϕ ϕ ϕ
2
0
1
233AAnBn
n
n
n
n
n
(cos sin (2.9)
Найдем коэффициенты Фурье:
)
()
Ady
Andndnd
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
0
2
3
2
0
2
0
2
2
22
0
2
0
2
0
2
2
23
0
2
2
1
2
2
1
23
2
3
3
1
2
1
2
1
2
2
2
1
=−+ =−+
∫
=
⋅= −+ =− + =
∫∫∫
=− + −
+
++
π
ϕπϕ
π
ϕ
πϕ π
π
ϕπϕ ϕϕ
π
ϕϕϕϕϕϕ
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
π
π
πππ
π
,
cos cos cos
sin cos sin
sin cos
()
=−
⋅= −+ =− + =
∫∫∫
=− − + −
+
+− +
=
0
2
2
22
0
2
0
2
0
2
2
23
0
2
2
0
2
4
3
1
2
1
2
1
2
2
2
1
0
π
πππ
π
π
π
ϕπϕ ϕϕ
π
ϕϕ ϕϕϕ
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
n
Bndndxnd
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
;
sin sin sin
cos sin cos
cos sin

Страницы