Уравнения математической физики. Метод характеристик. Метод Фурье. Вельмисов П.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

6
Здесь Ф есть выражение, не зависящее от вторых производных функции
u.
Всякое уравнение (1.1) с помощью перехода к новым переменным
η
ξ
, ме-
тодом характеристик может быть приведено к каноническому виду.
1. Пусть в области
D плоскости xOy выполняется неравенство
0
2211
2
12
>− aaa , т.е. уравнение (1.1) относится к гиперболическому типу. Тогда
характеристическое уравнение (1.8) распадается на два различных действи-
тельных уравнения (1.9), каждое первого порядка. Пусть
Cyx =),(
ϕ
и
ψ
(,)xy C= - общие интегралы уравнений (1.9). Положим
ξ
ϕ
η
ψ
==(,), (,)xy xy. Тогда согласно теореме 1.1 и формулам (1.4) и (1.6) бу-
деь иметь a
11
0= и a
22
0= . Значит уравнение (1.1) примет канонический вид:
u Ф
ξη
= .
ЗАДАЧА №3.31. Найти общее решение уравнения, приведя его к канони-
ческую виду:
2530uuu
xx xy yy
+−= (1.13)
РЕШЕНИЕ. Имеем:
aa a aaa
11 12 22 12
2
11 22
2
5
2
3
49
4
0== =−− =>,, , .
Значит, уравнение гиперболического типа на всей плоскости
xOy . Характери-
стическое уравнение (1.8) имеет вид:
2530
2
() .
′
−
′
−=yy Обозначив ty=
′
, то
получим квадратное уравнение
2530
2
t−−=. Его решения есть tt
12
3
1
2
==−,
(различные действительные решения). Возвращаясь к
′
y
, получаем два обык-
новенные дифференциальных уравнения 1-го порядка:
′
=y 3
и
′
=−y 12/
. Ре-
шаем их:
′
=⇔ = + ⇔ − =
′
=− ⇔ =− + ⇔ + =
yyxCyxC
ytxCyxC
33 3
05 05 05
,
,, ,.
Согласно методу характеристик введем новые переменные
ξ
η
, по формулам:
ξ
η
=− =+yx y x305,,.
Находим их частные производные:
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
xyxxxyyy
=−====31 0 0 0,, , , ,
η
η
η
η
η
x y xx xy yy
= ====05 1 0 0 0,, , , , . Подставляем производные в формулы
(1.2), получаем:
uuuuuuuuu u
u u u uuu uu
xxxx
xy yy
=− + ⋅ = + = − +
=− − + = + +
305 93025
32505 2
ξη ξη ξξ ξη ηη
ξξ ξη ηη ξξ ξη ηη
,, , , ,
,,, .
Подставляем uuu
xx yy xy
,, в (1.13), получаем:
29 3 025 5 3 25 05 3 2 0( , )( , , )( ).uu u u u u uuu
ξξ ξη ηη ξξ ξη ηη ξξ ξη ηη
−+ +−− + − ++=
Приводя подобные слагаемые, мы приходим к уравнению в канонической фор-
ме:
−=24 5 0, u
ξη
или u
ξη
= 0.

Страницы