Физика межпланетного и околоземного пространства. Веселовский И.С - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Запишем эти уравнения в сферических координатах, учитывая лишь
зависимость от радиуса:
2
2
2
1 1
0 0
1
0;
2 0;
const.
R
p
R
p R
d
R nv
R dR
GM m
d nT
dv
nm v n
dR dR R
n T n T
Значения величин на некотором исходном уровне
0
R
будем снабжать
индексом "0". Первое уравнение выражает сохранение полного потока
2 2
0 0 0
4 4 .
R R
Из второго и третьего уравнений при интегрировании получается
уравнение Бернулли:
1
2 2 1 1
0
0 0 0
0
1 1 1
2 0
2 1
.
R R
p
n
v v n n GM T
m R R
Отсюда с учетом
2
0 0
0
2
4
R
R R
J v R
n n
v R v R
при
1
следует неявное выражение для скорости
:
R
v R
1
2 1
2 2
0 0 0
0
0
0
1
2 1
2 1
1 1
0.
R
R R
p R
T v R
v v
m v R
GM T
R R
( 2.1 )
Изотермический случай (
1
) является особым:
2
2 2
0 0 0
0
0
1 1 1
2 ln 0
2
.
R
R R
p R
T v R
v v GM
m v R R R
Последние формулы при каждом значении
дают зависящее от
0
T
однопараметрическое семейство решений, проходящих через точку
0 0
, .
R
R v Случаи
3
и
2
допускают полное аналитическое
исследование, так как сводятся к решению биквадратного или
кубического уравнения. Для качественного исследования семейства
16
Запишем эти уравнения в сферических координатах, учитывая лишь
зависимость от радиуса:
                 1 d
                  2
                 R dR
                        R nvR  0;
                         2
                                                                    
                                                  dvR                d  nT                 GM  m p
                                     nm p vR                    2                     n            2
                                                                                                                  0;
                                                  dR                      dR                     R
                                      1                1 
                                     n T  n0 T0  const.
Значения величин на некотором исходном уровне R0 будем снабжать
индексом "0". Первое уравнение выражает сохранение полного потока
J  4 nvR R  4 n0 vR 0 R0 .
                     2                               2



Из второго и третьего уравнений при интегрировании получается
уравнение Бернулли:
        1
                                              1 
                                             n0                                                                 1 1    
            v   2
                 R
                      vR 0  2
                             2
                                                                n       1
                                                                                 n0
                                                                                      1
                                                                                              GM              RR     T0  0.
        2                                    mp   1                                                               0   
Отсюда с учетом
                                                                                                             2
                                                                 J                     vR 0  R0 
                                              n                                 n0                    
                                                          4 vR R                      vR  R 
                                                                         2



при   1 следует неявное выражение для скорости vR  R  :

    1                              vR 0  1  R0  2  1 
                                              T0
       vR  vR 0   2 m   1   v   R   1 
            2            2

    2                    p
                              R                                                                                      ( 2.1 )
          1 1 
    GM        T0  0.
           R R0 
Изотермический случай (   1 ) является особым:
                                    vR 0  R0  2 
               vR  vR 0   2 ln      GM      0.
            1        2           2                T0   1 1
            2                  m p  vR  R         R R0 
Последние формулы при каждом значении  дают зависящее от T0
однопараметрическое семейство решений, проходящих через точку
 R0 , vR 0  . Случаи   3 и   2 допускают полное аналитическое
исследование, так как сводятся к решению биквадратного или
кубического уравнения. Для качественного исследования семейства


                                                                                16

Страницы