Малые колебания системы с двумя степенями свободы. Власов Ю.Л. - 4 стр.

       1 Общие положения

        1.1 Малые колебания системы около положения равновесия
      Если обобщенные координаты системы в положении равновесия
принимать равными нулю, т.е. отсчитывают их от положения равновесия, то
колебательным движением в общем случае можно считать такое движение, при
котором все обобщенные координаты или часть из них принимают нулевые
значения, по крайней мере, несколько раз.
      Малые колебания системы представляют собой такое движение системы,
при котором значения обобщенных координат, определяющих положение
системы, и обобщенных скоростей в любой момент времени настолько малы,
что их можно рассматривать как величины первого порядка малости.
      В положении равновесия силы, приложенные к механической системе,
составляют уравновешенную систему сил и каждая обобщенная сила равна
нулю:
                                    ∂П
                             Qi = −      = 0,
                                    ∂ qi
      где П – потенциальная энергия механической системы.
      Следовательно, потенциальная энергия в положении равновесия
достигает своего экстремального значения.
      Механическая система может совершать малые колебания только вблизи
устойчивого положения равновесия.
      Строгое определение понятию устойчивого положения равновесия было
дано А.М. Ляпуновым:
      Равновесие системы называется устойчивым, если для всякого, как
угодно малого положительного числа ε можно выбрать два других малых
положительных числа η1 и η2, что при начальных возмущениях,
удовлетворяющих условиям:
                                             .    o
                          < η 1;
                      o
                     qi                      qi       < з 2,

в дальнейшем движении механической системы выполняется условие

                                   qi (t ) < ε
для каждой обобщенной координаты.
      Достаточное условие устойчивости равновесия консервативной системы
определяется теоремой Лагранжа-Дирихле:
      если в положении изолированного равновесия консервативной системы с
идеальными и стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум,
то это положение равновесия устойчиво.

     Дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя
степенями свободы получим из уравнений Лагранжа второго рода:

                                     d ∂T ∂Τ
                                               −      = Q 2,           (1)
                                     dt ∂ q.     ∂q 2
                                             2