Малые колебания системы с двумя степенями свободы. Власов Ю.Л. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

;1
1
1
.
T
dt
d
Q
q
q
=−
∂
Τ∂
∂
∂
где Т – кинетическая энергия системы;
q
1
и q
2
– обобщенные координаты;
Q
1
и Q
2
– обобщенные силы,
t – время.
В случае свободных колебаний механической системы:
Q = Q
П
.
Здесь Q
П
– обобщенная сила потенциальных сил. Она выражается через
потенциальную энергию П по формуле:
.
q
П
Q
П
∂
∂
−=
Потенциальная энергия в общем случае зависит от координат точек
системы и, следовательно, от обобщенной координаты q и не зависит от
обобщенной скорости.
1.2 Кинетическая энергия системы с двумя степенями свободы в
обобщенных координатах
Кинетическая энергия системы с двумя степенями свободы в обобщенных
координатах вычисляется по формуле:
.
2
2
22
21
12
2
1
11
...
2
.
2
1
T
++
= qqqAqA A
Величины
А
11
, А
12
, А
22
зависят только от q
1
и q
2
. Разложим каждую из этих
функций в ряд Маклорена по степеням обобщенных координат в окрестности
положения равновесия. Имеем для
А
11
:
()
(2))( ...,
2
0
2
11
1
0
1
11
0
11
2111
+
+
+
⋅
∂
∂
⋅
∂
∂
= q
q
A
q
q
A
AqqA
Индекс 0 у величин здесь и далее указывает, что их следует вычислять
при q
1
= q
2
= 0.
Так как рассматриваем малые отклонения системы от положения
равновесия, то в равенстве (2) ограничимся только первыми постоянными
членами:
(
)
.,
11
0
11
2111
)( a
A
qq
A
=
=
              d ∂T ∂Τ
                       −   = Q1;
              dt ∂ q. ∂ q1
                     1

где Т – кинетическая энергия системы;
    q1 и q2 – обобщенные координаты;
    Q1 и Q2 – обобщенные силы,
     t – время.
       В случае свободных колебаний механической системы:

                               Q = QП .
     Здесь QП – обобщенная сила потенциальных сил. Она выражается через
потенциальную энергию П по формуле:
                                   ∂П
                                      .      QП = −
                                   ∂q
     Потенциальная энергия в общем случае зависит от координат точек
системы и, следовательно, от обобщенной координаты q и не зависит от
обобщенной скорости.

       1.2 Кинетическая энергия системы с двумя степенями свободы в
  обобщенных координатах
     Кинетическая энергия системы с двумя степенями свободы в обобщенных
координатах вычисляется по формуле:
                                  1      .2          . .           .2
                               T =  A11 q 1 + 2 A12 q 1 q 2 + A22 q 2 .
                                  2                                     

     Величины А11, А12, А22 зависят только от q1 и q2. Разложим каждую из этих
функций в ряд Маклорена по степеням обобщенных координат в окрестности
положения равновесия. Имеем для А11:
                                        ∂A            ∂A 
         A11 (q1 , q 2 ) = ( A11 )0 +  11  ⋅ q1 +  11  ⋅ q 2 + ...    (2)
                                        ∂q1  0        ∂q 2  0

      Индекс 0 у величин здесь и далее указывает, что их следует вычислять
при q1 = q2 = 0.
      Так как рассматриваем малые отклонения системы от положения
равновесия, то в равенстве (2) ограничимся только первыми постоянными
членами:


                             A11 (q1 , q 2 ) = ( A11 )0 = a11 .

Страницы