Малые колебания системы с двумя степенями свободы. Власов Ю.Л. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Аналогично получаем:
(
)
,,
12
0
12
2112
)( a
A
qq
A
=
=
(
)
.,
22
0
22
2122
)( a
A
qq
A
=
=
где а
11
, а
12
, а
22
– постоянные коэффициенты инерции, которые
характеризуют инертность механической системы.
Тогда кинетическая энергия системы будет иметь следующее выражение:
.
...
2
.
2
1
T
2
2
22
21
12
2
1
11
++
= qaqqaqa
Так как кинетическая энергия всегда положительна и равняется нулю
только при нулевых значениях обобщенных скоростей, значит, ее
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
a
11
> 0, a
22
> 0,
)3(
.0
2212
1211
>
aa
aa
1.3 Потенциальная энергия системы с двумя степенями свободы в
обобщенных координатах
Потенциальная энергия системы с двумя степенями свободы зависит
только от обобщенных координат q
1
и q
2
, если силовое поле и связи
стационарны. Разлагая потенциальную энергию П в окрестности
положения равновесия в ряд по степеням обобщенных координат q
1
и q
2
, для
системы с двумя степенями свободы, имеем:
...
2
П
П
2
ППП
)П(),
2
2
0
2
2
2
21
0
21
2
2
1
0
2
1
2
2
0
2
1
0
1
021
П
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
⋅⋅
⋅⋅⋅
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q(q
Потенциальную энергию в положении равновесия (П)
0
принимаем равной
нулю. Значения обобщенных сил в положении равновесия системы равны
нулю:
.0
П
;0
П
0
2
0
1
=
∂
∂
=
∂
∂
qq
     Аналогично получаем:

                         A12 (q1 , q 2 ) = ( A12 )0 = a12 ,

                         A22 (q1 , q 2 ) = ( A22 )0 = a 22 .

     где а11, а12, а22 – постоянные коэффициенты инерции, которые
характеризуют инертность механической системы.
     Тогда кинетическая энергия системы будет иметь следующее выражение:

                                1  . 2          . .            .2
                             T =  a11 q 1 + 2a12 q 1 q 2 + a 22 q 2 .
                                2                                    

     Так как кинетическая энергия всегда положительна и равняется нулю
только при нулевых значениях обобщенных скоростей, значит, ее
коэффициенты должны удовлетворять условиям:

                                     a11 > 0,              a22 > 0,
                                                                                        (3)
                                             a11 a12
                                                      > 0.
                                             a12 a 22


       1.3 Потенциальная энергия системы с двумя степенями свободы в
  обобщенных координатах
       Потенциальная энергия системы с двумя степенями свободы зависит
  только от обобщенных координат q1 и q2, если силовое поле и связи
  стационарны. Разлагая потенциальную энергию П в окрестности
  положения равновесия в ряд по степеням обобщенных координат q1 и q2, для
  системы с двумя степенями свободы, имеем:

                                     ∂П                             2 
                                          ⋅ q +  ∂П           ⋅ q +  ∂ П  ⋅ q1 +
                                                                                  2

            П (q1 , q 2 ) = (П) 0 + 
                                     ∂q     1
                                                  ∂q              2
                                                                        ∂q 2  2
                                     1 0        2           0       1 0


                          ∂ 2П                2 
                                      ⋅ q q +  ∂ П  ⋅ q 2 + ...
                                                           2

                      +
                          ∂q ∂q         1 2
                                                ∂q 2  2
                          1 2       0           2 0




     Потенциальную энергию в положении равновесия (П)0 принимаем равной
нулю. Значения обобщенных сил в положении равновесия системы равны
нулю:
                    ∂П                  ∂П 
                        = 0;                = 0.
                    ∂q                  ∂q 
                    1 0                 2 0

Страницы