Малые колебания системы с двумя степенями свободы. Власов Ю.Л. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

1.5 Общее решение дифференциальных уравнений свободных
колебаний системы с двумя степенями свободы
Частное решение системы уравнений (5) можно представить в
следующем виде:
,)t (sinA
22
α
+
=
k
q
;) t ( sinA
11
α
+=
k
q
предположив, что обобщенные координаты q
1
и q
2
изменяются по
гармоническому закону.
Где k - круговая частота колебаний; А
1
и А
2
– амплитуды; α – начальная
фаза. Постоянные А
1
, А
2
, k и a подлежат определению.
Подставим значения q
1
и q
2
и их производные
,) t ( sinA
1
2
1
..
α
+−= kkq
,) t ( sinA
2
2
2
..
α
+−= kkq
в систему уравнений (5). Получим тождества, в которых коэффициенты при
sin(kt+a) должны равняться нулю. Это дает систему двух однородных линейных
уравнений для определения амплитуд А
1
и А
2
:
А
1
(с
11
– а
11
k
2
) + А
2
(с
12
– а
12
k
2
) = 0,
(6)
А
1
(с
11
– а
11
k
2
) + А
2
(с
12
– а
12
k
2
) = 0.
Однородная линейная система уравнений имеет решения, отличные от
нуля, если определитель системы равен нулю:
.0
2
2222
2
1212
2
1212
2
1111
=
−−
−−
kackac
kackac
Раскрывая определитель, получаем уравнение частот:
(с
11
– а
11
k
2
) (с
22
– а
22
k
2
) - (с
12
– а
12
k
2
)
2
= 0.
Только для значений k, удовлетворяющих уравнению частот, существуют
отличные от нуля значения А
1
, А
2
и, следовательно, q
1
(t), q
2
(t).
Уравнение частот, как биквадратное уравнение, в общем случае имеет два
значения для квадрата частоты k
2
. Для системы с двумя степенями свободы,
если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергии
удовлетворяют условиям положительной определенности (3) и (4), то эти
условия необходимы и достаточны для того, чтобы оба решения для k
2
были
действительными и положительными. Только для действительных и
положительных значений k
2
обобщенные координаты q
1
и q
2
выражаются
синусоидальной зависимостью от времени. Для значений k
2
, не
удовлетворяющих этим условиям, движение системы не является
колебательным.
Каждой из частот соответствуют определенные значения величин А
1
, А
2
, α:
и частоты для -AA
, ,
1 1
(1)
2
(1)
1
k
α
. , ,
2 2
(2)
2
(2)
1
частоты для -AA k
α
       1.5 Общее решение дифференциальных уравнений свободных
  колебаний системы с двумя степенями свободы
     Частное решение системы уравнений (5) можно представить в
следующем виде:

                   q1 = A 1 sin (kt + α );             q2 = A 2 sin (kt + α ),

предположив, что обобщенные координаты q1 и q2 изменяются по
гармоническому закону.
      Где k - круговая частота колебаний; А1 и А2 – амплитуды; α – начальная
фаза. Постоянные А1, А2, k и a подлежат определению.
      Подставим значения q1 и q2 и их производные
                 ..                                     ..
                 q 1 = −k 2 A 1 sin (kt + α ),          q 2 = −k 2 A 2 sin (kt + α ),

в систему уравнений (5). Получим тождества, в которых коэффициенты при
sin(kt+a) должны равняться нулю. Это дает систему двух однородных линейных
уравнений для определения амплитуд А1 и А2:

                       А1(с11 – а11 k2) + А2(с12 – а12 k2) = 0,
                                                                                        (6)
                                       2                    2
                       А1(с11 – а11 k ) + А2(с12 – а12 k ) = 0.

      Однородная линейная система уравнений имеет решения, отличные от
нуля, если определитель системы равен нулю:

                              c11 − a11 k 2 c12 − a12 k 2
                                                            = 0.
                              c12 − a12 k 2 c 22 − a 22 k 2

       Раскрывая определитель, получаем уравнение частот:
                     (с11 – а11 k2) (с22 – а22 k2) - (с12 – а12 k2)2 = 0.
     Только для значений k, удовлетворяющих уравнению частот, существуют
отличные от нуля значения А1, А2 и, следовательно, q1(t), q2(t).

     Уравнение частот, как биквадратное уравнение, в общем случае имеет два
значения для квадрата частоты k2. Для системы с двумя степенями свободы,
если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергии
удовлетворяют условиям положительной определенности (3) и (4), то эти
условия необходимы и достаточны для того, чтобы оба решения для k2 были
действительными и положительными. Только для действительных и
положительных значений k2 обобщенные координаты q1 и q2 выражаются
синусоидальной зависимостью от времени. Для значений k2, не
удовлетворяющих этим условиям, движение системы не является
колебательным.
    Каждой из частот соответствуют определенные значения величин А1, А2, α:
           2 , α 1 - для частоты k1 и A 1 , A 2 , α 2 - для частоты k 2 .
A 1(1) , A (1)                          (2)   (2)

Страницы