Малые колебания системы с двумя степенями свободы. Власов Ю.Л. - 7 стр.

      Окончательно, удерживая члены второго порядка и пренебрегая членами
третьего и более высокого порядка, потенциальную энергию выразим в форме:
                                  1
                            П=
                                  2
                                    (c11 q12 + 2c12 q1 q 2 + c 22 q 22 ).

       Постоянные величины

                      ∂ 2П                       ∂2П                                ∂2П 
               c11 =  2  ,                c12 =             ,               c 22 =  2  .
                      ∂q                         ∂q ∂q                              ∂q 
                      1 0                        1 2       0                          2 0



называются коэффициентами жесткости, которые характеризуют упругие
свойства системы.
     В положении устойчивого равновесия квадратичная форма для
потенциальной энергии определенно положительна и ее коэффициенты
удовлетворяют следующим условиям:

                                   c11.> 0,              c22 > 0,

                                             c11 c12                                                                  (4)
                                                     > 0.
                                             c12 c22



       1.4 Дифференциальные уравнения свободных колебаний
     Для системы с двумя степенями свободы, учитывая формулы для
кинетической и потенциальной энергии, имеем

         ∂Τ ∂Τ                        ∂Τ             .        .                  ∂Τ             .         .
             =      = 0,               .     = a11 q1 + a12   q2,                 .     = a12   q1 + a22 q 2 ,
         ∂ q1 ∂ q 2                  ∂ q1                                       ∂ q2

                       ∂П                                                             ∂П
                           = −(c11 q1 + c12 q 2 ),                                         = −(c12 q1 + c 22 q 2 ).
               П                                                            П
         Q1 = Q1 = −                                           Q 2 = Q2 = −
                       ∂q1                                                            ∂q 2


    Подставляя эти значения величин в уравнение (1), получаем линейные
дифференциальные уравнения:
                             ..        ..
                         a11 q 1 + a12 q 2 + c11 q1 + c12 q 2 = 0,                                                    (5)
                             ..        ..
                         a12 q 1 + a 22 q 2 + c12 q1 + c 22 q 2 = 0.