Малые колебания системы с двумя степенями свободы. Власов Ю.Л. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

В соответствии с этим получим по два значения обобщенных координат
q
1
и q
2
:
),tsin(A
11
)1(
1
)1(
1
α
+
= kq
),tsin(A
11
)1(
2
)1(
2
α
+
= kq
)7(
),tsin(A
22
)2(
1
)2(
1
α
+
= kq
),tsin(A
22
)2(
2
)2(
2
α
+
= kq
.
2
)2(
2
)2(
11
)1(
2
)1(
1
частоты
для - и а , частоты для колебание главное составляют и где
k
qqkqq
Система однородных линейных уравнений (6) дает возможность
определить только отношение амплитуд. Для первого и второго главных
колебаний соответственно получаем:
,
2
12222
2
11212
2
11212
2
11111
(1)
1
(1)
2
1
A
A
kac
kac
kac
kac
−
−
−=
−
−
−==
β
.
2
22222
2
21212
2
21212
2
21111
(2)
1
(2)
2
2
A
A
kac
kac
kac
kac
−
−
−=
−
−
−==
β
Отношения амплитуд в главных колебаниях β
1
, β
2
, называют
коэффициентами формы. Коэффициенты формы равны отношениям
обобщенных координат в главных колебаниях:
.
)2(
1
)2(
2
(2)
1
(2)
2
2
A
A
q
q
==
β
,
)1(
1
)1(
2
(1)
1
(1)
2
1
A
A
q
q
==
β
Коэффициенты формы β
1
и β
2
характеризуют формы главных колебаний и
показывают во сколько раз амплитуда соответствующего главного колебания в
одной из координат больше (или меньше) амплитуды другой координаты.
Анализ уравнений (7) позволяет сделать следующие выводы:
- если система совершает одно из главных колебаний, то обе
обобщенные координаты системы изменяются по гармоническому закону
одинаковой частоты и фазы колебаний. Это означает, что обе обобщенные
координаты изменяются синхронно, одновременно имея нулевое значение и
одновременно достигая максимума;
- в каждом из главных колебаний, амплитуды находятся в постоянном
соотношении (β
1
или β
2
), не зависящем от начальных условий и зависящем
лишь от структуры движущейся системы.
Движение системы с двумя степенями свободы около положения
устойчивого равновесия складывается из двух независимых колебаний, путем
суммирования частных решений:
),tsin(A)tsin(A
22
)2(
111
)1(
1
)2(
1
)1(
11
α
α
+
+
+
+= = kkqqq
).tsin(A)tsin(A
22
)2(
1211
)1(
11
)2(
12
)1(
11
)2(
2
)1(
22
α
β
α
β
β
β
+
+
+
++= == kkqqqqq
       В соответствии с этим получим по два значения обобщенных координат
q1 и q2:


                         q1(1) = A 1(1) sin(k1 t + α 1 ),          q 2(1) = A (21) sin(k1 t + α 1 ),
                                                                                                                           (7)
                        q1( 2) = A 1( 2) sin(k 2 t + α 2 ),        q 2( 2) = A (22) sin(k 2 t + α 2 ),
где q1(1) и q 2(1) составляют главное колебание для частоты k1 , а q1( 2) и q 2( 2) - для
частоты k 2 .
       Система однородных линейных уравнений (6) дает возможность
  определить только отношение амплитуд. Для первого и второго главных
  колебаний соответственно получаем:

                              A (1)    c11 − a11 k12    c12 − a12 k12
                         β 1 = (1) = −
                                2
                                                     =−                 ,
                              A1       c12 − a12 k12    c 22 − a 22 k12

                              A (2)    c11 − a11 k 22    c12 − a12 k 22
                         β 2 = (2) = −
                                2
                                                      =−                  .
                              A1       c12 − a12 k 22    c 22 − a 22 k 22

     Отношения амплитуд в главных колебаниях β1, β2, называют
коэффициентами формы. Коэффициенты формы равны отношениям
обобщенных координат в главных колебаниях:

                                A (1)   q 2(1)                          A (2)   q 2( 2)
                         β1 =      2
                                      =        ,                 β2 =      2
                                                                              =         .
                                A 1(1) q1(1)                            A 1(2) q1( 2)

     Коэффициенты формы β1 и β2 характеризуют формы главных колебаний и
показывают во сколько раз амплитуда соответствующего главного колебания в
одной из координат больше (или меньше) амплитуды другой координаты.


     Анализ уравнений (7) позволяет сделать следующие выводы:
     - если система совершает одно из главных колебаний, то обе
обобщенные координаты системы изменяются по гармоническому закону
одинаковой частоты и фазы колебаний. Это означает, что обе обобщенные
координаты изменяются синхронно, одновременно имея нулевое значение и
одновременно достигая максимума;
     - в каждом из главных колебаний, амплитуды находятся в постоянном
соотношении (β1 или β2), не зависящем от начальных условий и зависящем
лишь от структуры движущейся системы.
     Движение системы с двумя степенями свободы около положения
устойчивого равновесия складывается из двух независимых колебаний, путем
суммирования частных решений:

                   q1 = q1(1) + q1( 2) = A 1(1) sin(k1 t + α 1 ) + A 1( 2) sin(k 2 t + α 2 ),

          q 2 = q 2(1) + q 2( 2) = β 1 q1(1) + β 2 q1( 2) = β 1 A 1(1) sin(k1 t + α 1 ) + β 2 A 1( 2) sin(k 2 t + α 2 ).

Страницы