ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1 Общие положения
1.1 Малые колебания системы около положения равновесия
Если обобщенные координаты системы в положении равновесия принимать
равными нулю, т.е. отсчитывают их от положения равновесия, то колебательным
движением в общем случае можно считать такое движение, при котором все
обобщенные координаты или часть из них принимают нулевые значения, по
крайней мере, несколько раз.
Малые колебания системы представляют собой такое движение, при
котором значения обобщенных координат и обобщенных скоростей в любой
момент времени настолько малы, что их можно рассматривать как величины
первого порядка малости.
Рассмотрим механическую систему, находящуюся под действием сил,
имеющих потенциал. Такую систему сил называют консервативной.
Для консервативной системы уравнения равновесия сил имеют вид:
где П – потенциальная энергия механической системы,
q
i
- i
ая
обобщенная координата.
Следовательно, потенциальная энергия в положении равновесия достигает
своего экстремального значения.
Состояние равновесия механической системы может быть устойчивым,
неустойчивым и безразличным.
Состояние равновесия механической системы называется устойчивым, если
эта система, выведенная из положения равновесия, совершает колебания около
этого положения.
Состояние равновесия механической системы называется неустойчивым,
если при сколь угодно малом отклонении системы из положения равновесия она
удаляется от этого положения и колебаний около этого положения не возникает.
Состояние равновесия механической системы называется безразличным,
если при отклонении ее из этого положения она и новом положении может
оставаться в состоянии равновесия.
Механическая система может совершать малые колебания только вблизи
устойчивого положения равновесия.
Строгое определение понятия устойчивого положения равновесия было
дано А.М. Ляпуновым:
Равновесие системы называется устойчивым, если для всяких, как угодно
малых положительных чисел ε
1
и ε
2
можно выбрать два других малых
положительных числа η
1
и η
2
, что при начальных возмущениях, удовлетворяющих
условиям:
в дальнейшем движении механической системы выполняется условие
;
1
ε
<
(t)
q
i
;
1
η
<
q
o
i
,
2
o
.
з
q
i <
,0
Q
=
∂
∂
−=
q
П
i
i
,
2
.
ε
<(t)q
i
1 Общие положения 1.1 Малые колебания системы около положения равновесия Если обобщенные координаты системы в положении равновесия принимать равными нулю, т.е. отсчитывают их от положения равновесия, то колебательным движением в общем случае можно считать такое движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них принимают нулевые значения, по крайней мере, несколько раз. Малые колебания системы представляют собой такое движение, при котором значения обобщенных координат и обобщенных скоростей в любой момент времени настолько малы, что их можно рассматривать как величины первого порядка малости. Рассмотрим механическую систему, находящуюся под действием сил, имеющих потенциал. Такую систему сил называют консервативной. Для консервативной системы уравнения равновесия сил имеют вид: ∂П Qi = −= 0, ∂ qi где П – потенциальная энергия механической системы, qi - iая обобщенная координата. Следовательно, потенциальная энергия в положении равновесия достигает своего экстремального значения. Состояние равновесия механической системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным. Состояние равновесия механической системы называется устойчивым, если эта система, выведенная из положения равновесия, совершает колебания около этого положения. Состояние равновесия механической системы называется неустойчивым, если при сколь угодно малом отклонении системы из положения равновесия она удаляется от этого положения и колебаний около этого положения не возникает. Состояние равновесия механической системы называется безразличным, если при отклонении ее из этого положения она и новом положении может оставаться в состоянии равновесия. Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Строгое определение понятия устойчивого положения равновесия было дано А.М. Ляпуновым: Равновесие системы называется устойчивым, если для всяких, как угодно малых положительных чисел ε1 и ε2 можно выбрать два других малых положительных числа η1 и η2, что при начальных возмущениях, удовлетворяющих условиям: . o < η 1; o q i qi < з 2 , в дальнейшем движении механической системы выполняется условие . qi (t) < ε 1; q i (t) < ε 2 ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »