Малые колебания системы с одной степенью свободы. Власов Ю.Л. - 5 стр.

для каждой обобщенной координаты.
      Достаточное условие устойчивости равновесия консервативной системы
определяется теоремой Лагранжа-Дирихле:
      если в положении равновесия консервативной системы с идеальными и
стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это
положение равновесия устойчиво.
      Чтобы определить, устойчиво ли состояние равновесия в рассматриваемом
положении системы, необходимо выяснить, имеет ли потенциальная энергия
системы в этом положении минимум.
      В том случае, если
                                  ∂2П 
                                            > 0,
                                  ∂q 2 
                                       q =0
то условие минимума будет выполнено.
      Механическая система с одной степенью свободы в случае голономных,
идеальных связей имеет одну обобщенную координату q и ее движение
описывается одним уравнением Лагранжа второго рода:

                                 d     ∂T  ∂Τ
                                           −
                                       .  ∂q
                                                = Q,                       (1.1)
                                 dt     ∂ q
                                           
     где Т – кинетическая энергия системы;
         q – обобщенная координата;
         Q – обобщенная сила.

     1.2 Свободные колебания системы с одной степенью свободы

     Рассмотрим малые колебания системы с одной степенью свободы под
действием одних потенциальных сил, т.е. когда
                                        ∂П
                                 Q=−        .
                                         ∂q
     Считаем, что сил сопротивления и возмущающих сил нет. Такие колебания
называются собственными, или свободными. Колебания считаются малыми, если
при движении системы обобщенная координата и обобщенная скорость
достаточно малы и в уравнении Лагранжа (1.1) можно пренебречь всеми членами
второго и более высокого порядка относительно обобщенной координаты и
обобщенной скорости. В случае малых колебаний системы получается линейное
дифференциальное уравнение для обобщенной координаты q.

     1.3 Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы

     Для вывода из уравнения Лагранжа (1.1) дифференциального уравнения
малых свободных колебаний следует разложить кинетическую и потенциальную
энергии в ряды в окрестности положения равновесия системы, где q = 0.