Малые колебания системы с одной степенью свободы. Власов Ю.Л. - 7 стр.

     Положительная постоянная а называется коэффициентом инерции. Обычно
размерность коэффициента инерции совпадает или с массой, или с моментом
инерции.
     Потенциальная инерции системы П для стационарного силового поля и
стационарных связей является функцией только обобщенной координаты q.
Разлагая ее в степенной ряд в окрестности q = 0, получаем
                                   ∂П        ∂ 2 П  q 2  ∂3 П  q3
                    П (q) = П 0 + 
                                       q +  ∂q 2  2 +  ∂q 3  3! + ...
                                       
                                   ∂q 0            0            0
     Потенциальную энергию системы П в положении равновесия при q = 0
примем равной нулю. Величина (∂П/∂q)0 есть значение обобщенной силы Q в
положении равновесия системы, которое равно нулю.
     Так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет минимум,
что является достаточным условием устойчивости положения равновесия
системы, то
                                  ∂2П 
                                        > 0.
                                  ∂q 2 
                                       0
     Обозначим
                                             ∂2П 
                                      c =        .
                                                2 
                                             ∂q  0
     Постоянную с называют коэффициентом жесткости.
     Таким образом, отбрасывая члены третьего и более высокого порядка,
имеем:
                                     1
                              П (q) = cq 2 .                      (1.5)
                                     2

     На основании (1.4) и (1.5) получаем:

               ∂T            ∂T      .    d  ∂T       .. ∂П
                  = 0,                                = a q,    = сq.
               ∂q              . = a q,   dt  ∂ q.         ∂q
                             ∂q                    
      Подставляя значения этих производных в уравнение Лагранжа второго рода
(1.1), получим следующее дифференциальное уравнение малых свободных
колебаний системы с одной степенью свободы:
                                           ..
                                  a q + cq = 0.                            (1.6)
     Если разделить обе части уравнения (1.6) на а и ввести обозначение k2 =с/а,
                                      ..
                                q + k 2 q = 0.                         (1.7)
то дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью
свободы в окончательной форме:

     Постоянная величина k называется круговой, или циклической частотой
колебаний.